27第六章 第二节 与圆有关的位置关系（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 第二节　与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 (1)点在圆外⇔d____r； (2)点在圆上⇔d____r； (3)点在圆内⇔d____r. 知识点1 点、直线与圆的位置关系 > ＝ < 2 2．直线和圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d. 3 1．切线：直线和圆有_______公共点时，这条直线叫做圆的_______， 这个唯一的公共点叫做_______． 2．切线的性质：圆的切线_______于过切点的半径． 3．切线的判定 (1)定义判定：和圆有_______公共点的直线是圆的切线； (2)数量关系：圆心到直线的距离等于______的直线是圆的切线； (3)定理：过半径外端且_______于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质与判定 知识点2 唯一 切线 切点 垂直 唯一 半径 垂直 4 4．切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这 点到圆的_________． 5．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_______． 切线长 相等 5 1．与三角形三边都_______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心 叫做三角形的_______． 2．三角形的内心是三角形的三条__________的交点，它到三角形三边 的距离_______． 3．三角形的内心在三角形的内部． 三角形的内切圆 知识点3 相切 内心 角平分线 相等 6 7 例1 (2022·泸州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝ 2 ，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)， 则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________． 点、直线与圆的位置关系 (10年0考) 命题点1 8 解：如图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D， 则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值． 设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB， 则OE⊥BC，OF⊥AB. 9 10 练1 (2022·吉林)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以 点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能 是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 11 例2 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为_________. 三角形的内切圆　(10年0考) 命题点2 12 13 考法❶　与切线的性质有关的证明及计算 (2022·济南)已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F. (1)求证：CA＝CD； (2)若AB＝12，求线段BF的长． 与切线有关的证明及计算 (10年9考) 14 【规范解答】 (1)证明：如图，连接OC. ∵CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°. ∵∠CDA＝30°， ∴∠COB＝90°－∠CDA＝60°， ∴∠CAB＝ ∠COB＝30°， ∴∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD. 15 16 1．(2019·聊城)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E. (1)求证：EC＝ED； (2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长． 17 解：(1)证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径， ∴OC⊥CE， ∴∠OCA＋∠ACE＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA， ∴∠ACE＋∠A＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°. 又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°， ∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED. 18 (2)解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt△DCF中，∠DCE＋∠ECF＝90°. 又∵∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE＋∠ECF＝90°. 又∵∠CDE＋∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF. ∵EF＝3，∴EC＝DE＝3. 在Rt△OCE中，OC＝OA＝4，CE＝3， 19 20 考法❷　与切线的判定有关的证明及计算 1．命题规律： 21 2．解题方法： (1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直； (2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径