19第四章 第四节 特殊三角形（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 第四节　特殊三角形 1．等腰三角形的定义：有_______相等的三角形是等腰三角形． 知识点1 等腰三角形 两边 2 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两条腰_______，两个底角________，简称“等边对等 角”． (2)等腰三角形顶角的________、底边上的_______、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”． (3)等腰三角形是轴对称图形，一般地，有____条对称轴． 3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个_____相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”． 相等 相等 平分线 中线 1 角 3 1．等边三角形的定义：三条边均相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边_________，每个角都等于_______． (2)等边三角形是轴对称图形，有____条对称轴． 3．等边三角形的判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)有一个角等于60°的_____________是等边三角形． (4)有两个角等于_______的三角形是等边三角形． 等边三角形 知识点2 都相等 60° 3 等腰三角形 60° 4 1．勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方．如图，如果用a，b和c分别表示直角三角 形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. (2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形 知识点3 5 2．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角_______． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______． (3)直角三角形中30°所对的直角边等于_____________． (4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的角等于______． 互余 一半 斜边的一半 30° 6 3．直角三角形的判定 (1)有一个角是_______的三角形是直角三角形． (2)有两个角_______的三角形是直角三角形． (3)如果三角形一边上的_______等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形． (4)通过勾股定理的逆定理判定． 90° 互余 中线 7 例1 (2022·滨州)如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC， 立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为_______． 等腰三角形的判定与性质 (10年5考) 命题点1 30° 8 练1 (2021·枣庄)若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为________． 8或9 9 例2 如图，在等边三角形ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A，B重合)，点D在直线BC上，且ED＝EC. (1)若点E为线段AB的中点，试说明DB＝AE的理由； (2)若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长． 等边三角形的判定与性质 (10年2考) 命题点2 10 【规范解答】 解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点， ∴∠ABC＝60°，∠BCE＝30°，BE＝AE. ∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°. ∵∠ABD＝180°－60°＝120°， ∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB. 11 (2)①如图1，当点E在线段AB上时， ∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点． 由(1)知，BD＝AE＝1， ∴CD＝BC＋BD＝3； 12 ②如图2，当点E在线段AB的反向延长线上时， ∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°， AB＝BC＝AC＝2. 过点E作EH∥AC交BC的延长线于点H， ∴∠BEH＝∠BHE＝60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴EH＝BH＝BE＝3，∠B＝∠H＝60°. ∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠B＋∠BED＝∠H＋∠HEC，∴∠BED＝∠HEC. 13 14 练2 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分 别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝______． 15 考法❶　直角三角形的判定与性质 例3 (2022·永州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°， 点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为(　　) A. B．2 C．2 D．4 有关直角三角形的证明与计算 (10年4考) 命题点2 C 16 练3