14第三章 第五节 二次函数的应用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 第五节　二次函数的应用 考法❶　利润、最值问题 (2022·滨州)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x(单位：元)的一次函数． 二次函数的实际应用　(10年1考) 2 (1)求y关于x的一次函数表达式； (2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 3 【规范解答】 4 (2)设每月获得的利润为w元． w＝(－30x＋960)(x－10)＝30(－x2＋42x－320) ＝－30(x－21)2＋3 630. ∵－30<0，∴当x＝21时，w有最大值，最大值为3 630. 答：当销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3 630元． 5 考法❷　抛物线型问题 (2021·金华)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从 点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方 向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C， D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝ － (x－5)2＋6. (1)求雕塑高OA； (2)求落水点C，D之间的距离； (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，EF＝1.8 m，EF⊥OD. 问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 6 7 8 考法❸　几何面积问题 (2020·日照)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃．(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计) 9 (1)若四块矩形花圃面积相等，求证：AE＝3BE； (2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． 【规范解答】 (1)证明：∵四块矩形区域的面积相等， ∴ME＝BE，矩形AMND的面积是矩形MEFN面积的2倍，∴AM＝2ME，∴AE＝AM＋ME＝3ME＝3BE. 10 11 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.求这个二次函数的表达式． 二次函数的综合应用　(10年8考) 12 【规范解答】 13 变式1 求线段最大值及存在点坐标 在核心母题4求出的二次函数基础上，如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN的长有最大值？并求出其最大值. 14 15 【方法点拨】 1.MN＝yM－yN； 2.利用二次函数的性质求线段最值. 16 变式2 求三角形周长最大值及存在点坐标 在核心母题4求出的二次函数基础上，如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值？并求出其最大值. 17 18 【方法点拨】 1.利用三角函数或相似将NE，ME进行转化，表示成含MN的式子； 2.MN＝yM－yN； 3.利用二次函数的性质求周长最值. 19 变式3 求面积为固定值时存在点坐标 在核心母题4求出的二次函数基础上，如图，点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ＝10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20 解：存在． 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AO，QC. 21 22 变式4 求面积最大值及存在点坐标 在核心母题4求出的二次函数基础上，如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23 24 【方法点拨】 1．利用面积公式 三角形、平行四边形、梯形、圆等都有相应的面积公式，如果能够顺利地求得(或表示)相应的线段长，则可以直接利用面积公式求(或表示)图形的面积． 25 2．利用割补法 26 27 变式5 求线段和最小值及存在点坐标 在核心母题4求出的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC＋QB最小？若存在，求出点Q的坐标及QC＋QB的最小值；若不存在，请说明理由． 28 解：存在． ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴QA＝QB， ∴QB＋QC＝QA＋QC. 当Q，A，C三点共线时，QB＋QC的值最小． 如图，连接AC. 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 29 30 变式6