（精练Word）第1部分 32微专题六 几何中线段的最值问题 微专题精练（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

模型1　利用垂线段最短求最值 1．(2021·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(　　) A. B．5 C. D．3 2．(2021·广元)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是(　　) A. B．1 C. D. 3. (2021·郴州)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点，则PC＋PB的最小值为________． 4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为⊙A与AC边的交点，AD＝1，点E为⊙A上一动点，点F是边BC上一动点，设EF＝m. (1)连接AF，若AF经过△ABC的外心，则AF的长为________； (2)当点E落在AB边上，且m＝5时，求CF的长度； (3)当EF与⊙A相切时，求m的最大值与最小值． 模型2　将军饮马模型 5．(2021·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为(　　) A．3 B．6 C．3 D．6 6．(2021·丹东)已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点)．若AB＝AC＝，BC＝2，点P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝________；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，点P为△ABC的费马点，则PA＋PB＋PC＝________． 参考答案 1．A　2.B　3. 4．解：(1)3 (2)如图1. 图1 ∵AE＝AD＝1，AB＝6，点E在线段AB上， ∴BE＝AB－AE＝6－1＝5. ∵EF＝m＝5，∴BE＝EF. ∵∠ABC＝60°，∴△BEF是等边三角形， ∴BF＝BE＝5， ∴CF＝BC－BF＝6－5＝1. (3)∵EF是⊙A的切线， ∴EF⊥AE， ∴m＝EF＝＝＝， ∴当AF最大时，m最大，当AF最小时，m最小． 又∵点F是BC边上的动点， ∴当AF⊥BC时，AF最小，如图2， 此时，由(1)得AF＝3， ∴m＝＝＝， ∴m的最小值为， ∵点F是BC边上的动点， 图2 图3 ∴当点F与点B或点C重合时，AF最大，如图3，此时AF＝6， ∴m＝＝＝. ∴m的最大值为. 5．A　6.5　2 学科网（北京）股份有限公司 $