（精练Word）第1部分 18微专题二 全等三角形七大模型的运用 微专题精练（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

模型1　平移模型 1．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是 (　　) A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 3．(2021·衡阳)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF. 模型2　轴对称模型 4．如图，等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(　　) A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC 5．(2021·无锡)已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO. 求证：(1)△ABO≌△DCO； (2)∠OBC＝∠OCB. 模型3　半角模型 6．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，连接EM，AE，且使得∠MAE＝45°. (1)求证：ME＝EF； (2)求证：EF2＝BE2＋DF2. 7．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的任意两点，且∠DAE＝45°. (1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图1中画出△ACF； (2)在(1)中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由； (3)如图2，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上一点，且BM＋DN＝MN，试求∠MAN的大小． 模型4　旋转模型 8．如图，P是等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5.将△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ的位置． (1)求PQ的长； (2)求∠APB的度数． 模型5　一线三垂直型 9．如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC.若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE. (1)求证：△ADC≌△CEB； (2)若DE＝10，AD＝7，求BE的长． 10．(2021·牡丹江)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC.易证：AC＝(EC＋FG)．(提示：取AB的中点M，连接EM) (1)如图2，当E是BC边上任意一点时；如图3，当点E在BC延长线上时．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明； (2)已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为________ ． 模型6　手拉手模型 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE.AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF. (1)求证：△ADF≌△AEF； (2)直接写出线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若BD＝3，CF＝4，则AD＝________ ． 模型7　倍角模型(二倍角) 12．徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB＋BD＝AC. 小敏的证明思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE.(如图2) 小捷的证明思路：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE.可以证得AE＝DE(如图3)．请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明． 参考答案 1．B　2.C 3．证明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE. 又∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)． 4．B 5．证明：(1)在△ABO和△DCO中， ∴△ABO≌△DCO(AAS)． (2)由(1)知△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. 6．证明：(1)由旋转可知MB＝FD，AM＝AF， ∠BAM＝∠DAF. ∵∠MAE＝45°，∠MAF＝90°， ∴∠FAE＝45°，∴∠MAE＝∠FAE. 在△AME和△AFE中， ∴△AME≌△AFE(SAS)，∴ME＝EF. (2)由(1)知ME＝EF. ∵∠ABM＝∠ADF＝45°，∠ABD＝45°， ∴∠MBE＝90°. 在Rt△MBE中， ∵MB2＋BE2＝ME2，MB＝DF， ∴EF2＝BE2＋DF2. 7．解：(1)完成的图形如图1. (2)DE2＝EC2＋BD2. 理由如下：如图2，连接EF. 由旋转可知AF＝AD，CF＝BD