（精讲PPT）第1部分 19微专题三 全等三角形七大模型的运用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东中考数学（北师大版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 微专题三　全等三角形七大模型的运用 平移模型 【基本图形】 2 【模型分析】 条件：有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行． 作法：在移动方向上加(减)公共线段． 结论：线段相等、对应角相等． 原理：等式的性质和平行线的性质、全等三角形的判定与性质． 3 例1 (2021·兰州)如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF. 求证：AC＝DF. 4 【规范解答】 5 【基本图形】 轴对称模型 6 【模型分析】 条件：所给图形可沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，重合的顶点为全等三角形的对应顶点． 作法：结合隐含条件确定公共边或公共角相等． 结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 原理：全等三角形的判定与性质． 7 例2 (2021·百色)如图，点D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE. 求证：(1)OD＝OE； (2)△ABE≌△ACD. 8 【规范解答】 9 【基本图形】 半角模型 10 11 【模型分析】 条件：(1)共端点的等线段； (2)共顶点的倍半角． 作法：利用等线段或倍半角作旋转变化或作辅助线构造全等三角形． 结论：探索线段间关系、全等关系、三角形周长与线段关系． 原理：正方形的性质和全等三角形的判定与性质． 12 例3 如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，点M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为________． 13 解：如图，将△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. 由旋转得∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD， ∠EAB＝∠NAC. ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD＋∠ACD＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠ABD＋∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线． ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB＋∠BAM＝∠NAC＋∠BAM＝∠BAC－∠MAN＝90°－45°＝45°，∴∠EAM＝∠NAM. 14 15 例4 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且∠FDE＝45°，连接DE，DF，EF，试探究EF，AF，CE之间的数量关系． 16 【规范解答】 解：如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90°得到△DAG. ∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90°，∠FDE＝45°， ∴∠EDC＋∠ADF＝45°. 又∵将△DCE绕着点D顺时针旋转90°得到△DAG， ∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC， ∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45°. 17 18 【基本图形】 旋转模型 19 【模型分析】 条件：已知一个图形可以看成(或已知)由另一个图形旋转一定的角度得到． 作法：找到图形中隐含的等角，利用对顶角相等或平行线的性质或运用角的和差关系求证． 结论：利用旋转的性质得出角相等或线段相等． 原理：旋转的性质和全等三角形的性质与判定． 20 例5 如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°. (1)求证：AB＝ED； (2)求∠AFE的度数． 21 【规范解答】 22 (2)解：由(1)中结论可得∠CDE＝∠B＝70°. 又∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝70°， ∴∠EDA＝180°－∠BDE＝180°－70°×2＝40°， ∴∠AFE＝∠EDA＋∠A＝40°＋10°＝50°. 23 【基本图形】 一线三垂直型 24 【模型分析】 条件：一线：经过直角顶点的直线； 三垂直：直角两边互相垂直，作过直角两边的直线互相垂直． 作法：利用同角的余角相等转化为等角． 结论：当模型中出现一组对边相等时，模型中必出现全等三角形． 原理：同角余角的性质． 25 例6 (2021·荆门)如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH. (1)求证：BE＝CH； (2)连接DF，若AB＝3，BE＝x，用含x的代数式表示DF的长． 26 【规范解答】 27 28 【模型分析】 (1)正向拉手线 条件：四线共点，两两相等，夹角相等，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD，即OA，OB，OC，OD交于一点，且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α. 作法：连接AC，BD两条拉手线，根据旋转的性质及等腰三角形的性质证三角形全等． 手拉手模型 29 结论： 1．△AOC≌△BOD，AC＝BD； 2．EO平分∠AED； 3．两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补． 原理：