（精讲PPT）第1部分 17微专题二 角平分线四大模型的运用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东中考数学（北师大版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 微专题二　角平分线四大模型的运用 由角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作 PA⊥OM 于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA. 2 【模型分析】 条件：题目中出现角平分线． 作法：过角平分线上一点向角的两边作垂线． 结论：角平分线上的点到角两边的距离相等． 原理：角平分线的性质． 3 例1 如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E.如果OD＝8 cm，求PE的长． 4 【规范解答】 解：如图，过点P作PF⊥OB于点F. ∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝15°. ∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°， ∴∠BOC＝∠DPO， ∴PD＝OD＝8(cm)． ∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°， ∴在Rt△PDF中，PF＝ PD＝4(cm)． ∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF， ∴PE＝PF＝4(cm)． 5 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，PA，则△OPB≌△OPA. 截取构造对称全等 6 【模型分析】 条件：题目中出现角平分线． 作法：在角的另一边射线上截取等线段． 结论：对应边、对应角相等． 原理：角平分线图形的对称性． 7 例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF. (1)求证：CF＝EB； (2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 8 【规范解答】 9 10 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角形． 角平分线＋垂线构造等腰三角形 11 【模型分析】 条件：题目中同时出现一角的平分线和这一角平分线的垂线． 作法：作辅助线，补全垂直平分线模型． 结论：如上图△AOB是等腰三角形． 原理：角平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”． 12 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为38，△ADC的面积为17，则△ABD的面积等于 ________． 13 解：如图，延长AD交BC于点E. ∵AD⊥BD，∴∠BDA＝∠BDE. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD， ∴∠BAD＝∠BED， ∴BA＝BE，∴AD＝ED，∴S△ABD＝S△BDE， S△CDE＝S△ADC＝17. ∵S△BDE＝S△BCD－S△CDE＝38－17＝21，∴S△ABD＝21. 14 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q，则△POQ是等腰三角形． 角平分线＋平行线 15 【模型分析】 条件：题目中出现角平分线． 作法：过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰直角三角形． 结论：如上图△OPQ是等腰三角形． 原理：角平分线的定义和平行线的性质． 16 例4 如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为________． 17 解：在▱ABCD中，CD＝AB＝2，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠BCE， ∠ABC＋∠DCB＝180°. ∵BE，CE分别是∠ABC和∠DCB的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE， ∠CBE＋∠BCE＝90°， ∴AE＝AB＝2，DC＝DE＝2，∠BEC＝90°， ∴AD＝2＋2＝4，∴BC＝AD＝4. 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE2＋CE2＝BC2＝42＝16. 故答案为16. 18 点击进入Word版 19 (1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥AB于点E， ∴DE＝DC. 在Rt△CDF与Rt△EDB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，)) ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)， ∴CF＝EB. (2)解：设CF＝x，则AE＝12－x. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE. 在Rt△ACD与Rt△AED中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,CD＝DE，)) ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC＝AE，即8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2. $