第18讲 搞定外接球（内切球）的球心-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第18讲 搞定外接球（内切球）的球心 一、课标要求： 基本立体图形 ①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 ②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。 ③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。 二、知识梳理 要点诠释：球的截面的性质 （1）球的截面是圆面； （2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； （3）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系： 三、查缺补漏 类型一 墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出. 例1．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16 ，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 类型二 对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）. 第一步：画出长方体，标出三组互为异面直线的对棱. 第二步：设长方体的长、宽、高分别为，，，，列方程组，， 补充：图中，. 第三步：根据墙角模型，， ，，求出. 例2．如右图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 类型三 汉堡模型（求直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 如图，图，图，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面. 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）. 第三步：勾股定理：，求出. 例3．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 ． 类型四 切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径—正弦定理求大圆直径是通法） 图4-1 图4-4 图4-3 图4-2 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出. 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），,，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3.如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径）， . 4．如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径）. 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 例4．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ． 类型五 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，平面，求外接球半径. 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心. 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），. 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 2．题设：如图至这七个图形，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 图5-1 图5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6 图5-7 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线. 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）. 第三步：勾股定理：，解出. 例5．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A． B． C． D．以上都不对 正视图 侧视图 俯视图 类型六 锥体的内切球问题 1．题设：如图6-1，三棱锥为正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先画出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心. 第二步：求，，是侧面的高. 第三步：由∽，建立等式：，解出. 图6-1 2．题设：如图6-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先画出内切球的截面图，三点共线. 第二步：求，，是侧面的高. 第三步：由∽，建立等式：，解出. 图6-2 3．题设：三棱锥是任意三棱推，求其内切球的半径． 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等． 第一步：先确定四个表面的面积和整个锥体体积． 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 例6．棱长为的正四面体的内切球表面积是 ． 三年真题：1．(2021高考天津·第6题)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为 (　　) A． B． C． D． 2．(2020天津高考·第5题)