第16讲 立体几何中的表面积和体积-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第16讲 立体几何中的表面积与体积 一、课标要求： 立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。 内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。 （1）基本立体图形 ①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 ②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。 ③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。 二、知识梳理 1． ⑴空间几何体：由物体的形状和大小抽象出来的空间图形； ⑵多面体：由若干个平面多边形围成的几何体； （面、棱、顶点） ①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体；（底面、侧面、侧棱、顶点），【平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．】；注意识别侧面水平放置的棱柱！ ②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体； （底面、侧面、侧棱、棱锥的顶点、底面顶点），【三棱锥：又称四面体（可以顶点变换）；正四面体：棱长都相等的三棱锥；正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥．】 ③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分；（上、下底面，侧面，侧棱，顶点）【正棱台：用一个平行于正棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分；】 ⑶旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体； （轴） ④圆柱：以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体；（轴、底面，侧面，母线） ⑤圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体； （同上） ⑥圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分；（同上） ⑦球（体）：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；（球心、半径、直径） ⑷简单几何体：柱体、椎体、台体、球； 简单组合体：由简单几何体拼接而成、或截去或挖去一部分而成； 2． 投影（线、面） ：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影； 中心投影：光由一点向外散射形成的投影；中心投影的投影线交于一点； 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影；（正投影、斜投影） ． 2.1 空间几何体的三视图的“三原则” ： （以长方体的长、宽、高分别为为例） （1）长对正：正视图与俯视图的长应对正()； 侧视图反映几何体的高度和宽度． （2）高平齐：正视图与侧视图的高要保持平齐()； 正视图反映几何体的高度和长度． （3）宽相等：俯视图与侧视图的宽度应相等；() 俯视图反映几何体的长度和宽度． 2.2 空间几何体的三视图的“两要求” ： ⑴图的摆放：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边． 【不作严格要求时，也可摆成一行． 】 ⑵线的虚实：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示；不能看见的轮廓线和棱用虚线表示． 2.3 三视图问题中值得注意的事项： 【重点掌握柱、锥、台、球及其组合体的三视图】 ⑴三视图不一定是几何体表面的形状，可能是某个截面的形状，或是由几个关键点的投影确定的多边形． ⑵根据三视图，①能判断几何体的形状，并能作出其直观图； ②能根据三视图中的数据直接计算几何体的体积与面积． 3． 平面多边形的直观图的画法(斜二侧画法规则)：【平行保持，横长不变，纵长减半！】 ①在已知图形中建立平面直角坐标系，画直观图时，建立对应的斜坐标系，使 (或)，所确定的平面表示水平平面． ②已知图形中平行于?轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变；平行于?轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半． 【说明】 ⑴画平面多边形的直观图，关键是确定多边形的各个顶点，这就需要借助与坐标轴平行或垂直的线段（必要时作出这样的辅助线），或在坐标轴上的线段来完成． ⑵平面多边形面积和其直观图面积满足：．会将平面多边形与其直观图相互转化． ⑶画几何体的直观图时，在画出底面后，增加一条竖直的轴，再画侧棱或高或母线等． 4． 空间几何体（柱体、锥体、台体、球）的表面积与体积： ⑴由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体，所以它们的表面积就是各个