1.5.1 正弦函数图象与性质再认识（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

1.5.1正弦函数图象与性质再认识 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：有关正弦函数定义、域值域问题 必会题型二：有关正弦函数单调性、奇偶性问题 必会题型三：正弦函数图像问题 必会题型四：正弦函数综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 正弦函数的图象 先画出正弦函数‍‍在区间‍‍上的图象． 在区间‍‍上取一系列的‍‍值，‍例如‍，‍并借助单位圆获得对应的正‍弦函数值‍(如图‍(1)‍)，‍列表‍(如下表)． 0 0 1 0 0 利用表中的数据，‍先在平面直角坐标系内描点，‍结合对函数‍‍性质的了解，‍用光滑曲线顺次连接，‍就可以得到函数‍‍在区间‍‍上的图象‍(如图‍ (2))． 将函数‍‍的图象向左、右平移‍(每次平移‍‍个单位长度)，‍就可以得‍到正弦函数‍‍的图象‍(如图)．‍正弦函数的图象称作正弦曲线． 必会知识二 正弦函数性质的再认识 1．定义域：正弦函数的定义域是‍． 2．周期性：从正弦函数的图象‍(如图‍)‍可以看到，‍当自变量‍‍的值增加‍‍的整数倍时，‍函数值‍重复出现．‍即正弦函数是周期函数，‍它的最小正周期为‍．‍同样，‍也可以从诱导公式‍‍中得到正弦函数的最小正周期为‍． 因此，‍为了研究问题方便，‍可以任意选取一个‍‍长度的区间，‍讨论‍‍的性质，‍然‍后延拓到定义域‍‍上． 3．单调性：在正弦函数‍‍图象中，‍选取长度为‍‍的区间‍，‍观察图像，‍可以看出，‍当‍‍由‍‍增大到‍‍时，‍‍的值由‍‍增大 到‍1‍；‍当‍‍由‍‍增大到‍‍时，‍的值由‍1‍减小到‍‍因此，正弦函数在区间‍‍上单调递增，‍在区间‍‍上单调递‍减．‍由正弦函数的周期性可知，‍正弦函数在每一个区间‍‍上都单调‍递增，‍在每一个区间‍‍上都单调递减． 4．‍最大(小)值和值域： 设集合‍． 当‍‍时，正弦函数‍‍取得最大值‍1‍；‍反之，‍当正弦函数‍‍达到最大值‍1‍时，‍． 当‍‍时，‍正弦函数‍‍取得最小值‍；‍反之，‍当正弦函数‍‍达到最小值‍‍时，‍． 从正弦函数的图象可以看出，正弦曲线夹在两条平行线‍‍和‍‍之间．‍所以正弦函数的值域是‍． 5．‍奇偶性：从正弦函数的图象可以看出，正弦曲线关于原点对称，‍ ‍由诱导公式‍‍可知，‍正弦函数是奇‍函数． 必会知识三 五点(画图)法 在一个周期内，‍例如‍，‍从正弦函数的图象可以看出：‍‍是‍‍的零点；‍‍分别是‍‍的最大值点、最小值点．‍它们在正弦曲线中起着‍关键作用． 根据正弦曲线的基本性质，‍描出‍，‍‍这五个关键点后，‍函 数‍‍的‍图象就基本确定了(如图)．‍因此，‍在精确度要求不太高时，‍常常先描出这五个关键点，‍然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，‍就得到正弦函数的简图．‍这种作正弦曲线的方法‍称为“五点‍(画图)‍法”． 必会知识四 正弦型函数的性质 1．当时，函数的定义域为，值域为，且当时取得最小值，当时取得最大值.单调性与的单调性相同，即在Z)上是单调递增的，在上是单调递减的.因为，所以，且，故函数为非奇非偶函数.周期性与的周期性相同，即周期. 2．当时，函数的定义域为，值域为，且当时取得最小值，当时取得最大值.单调性与的单调性相反，即在上是单调递减的，在上是单调递增的.因为，所以，且，故函数为非奇非偶函数.周期性与的周期性相同，即周期. 必会知识五 特殊函数的图像与性质 1．函数的图像与性质 函数的图像是将函数的图像中轴下方的图像沿轴对折上去得到的(轴上及轴上方的图像保持不变)，如图1-5.25.因此从图像可以看出它的性质如下： (1)定义域为(2)值域为图像关于轴对称，是偶函数； (4)在上是单调递增的，在上是单调递减的；(5)周期为. 2．函数的图像与性质 函数的图像是将函数的图像中轴左边的部分去掉，再将轴右边的部分沿轴对折到左边得到的(轴上及轴右边的图像保持不变)，如图1-5.2-6.因此从图像可以看出它的性质如下： (1)定义域为(2)值域为；(3)图像关于轴对称，是偶函数； (4)函数不是周期函数(由图像知的部分图像永远不会重复出现，故其不是周期函数). 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：有关正弦函数定义、域值域问题 1．（2022·高一课时练习）函数f（x）＝的定义域为（    ） A． (k∈Z) B． (k∈Z) C． (k∈Z) D． (k∈Z) 2．（2022秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知函数，结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D