考点08 正弦定理10种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点08 正弦定理10种常见考法归类 1. 正弦定理内容及公式： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 公式：在任意△ABC中，都有＝＝，这就是正弦定理. 注：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2. 正弦定理的常见变形 (1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).. (4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (5)＝＝＝. (6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB. (7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 3. 三角形面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc； (2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B. 4.已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 5.已知两边及其中一边的对角解三角形 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 6.利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 7.三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 8.利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　　 9.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 10．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点一 正弦定理及辨析 考点二 解三角形 （一）已知两角及一边解三角形 （二）已知两边及一边的对角解三角形 考点三 判断三角形解的个数 考点四 判断三角形的形状 考点五 正弦定理求外接圆半径 考点六 正弦定理的应用 考点七 正余弦定理的综合应用 考点八 三角形的面积问题 （一）求三角形的面积 （二）已知三角形面积求边、角的方法 （三）三角形面积的最值问题 考点九 三角形的周长问题 （1） 求三角形的周长 （二）三角形周长的最值问题 考点十 与三角形有关的最值（范围）问题 考点一 正弦定理及辨析 1．（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若在中，是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．（2022·高一单元测试）在中，“”是“”的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 考点二 解三角形 （一）已知两角及一边解三角形 4．（2022秋·天津南开·高一统考期末