4.2.1 等差数列的概念（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第四章 数列 等差数列的概念 授课人：XXX 第2课时 学习目标 掌握等差数列的有关性质，能够利用等差数列的性质灵活解决一些实际问题. 经历用等差数列解决实际问题的过程，体会等差数列在生产生活中的广泛应用. 核心素养 逻辑推理 等差数列性质及应用. 数学建模 利用等差数列解决实际问题. 知识回顾 等差数列的概念 等差数列的定义 等差中项 通项公式 等差数列与函数的关系 01 等差数列的实际应用 例题解析 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定的取值范围. 分析： 根据题意，这台设备使用年后的价值构成一个数列. 10年之内(含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于万元. 可以利用的通项公式列不等式求解. 例题解析 如何对数列进行判断？ 由题中“每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元”，可得 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列. 例题解析 如何确定等差数列的首项？ ∵ 表示使用1年后设备的价值， ∴ . 注意：不要误认为 . 例题解析 解： 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列. 由已知条件，得 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列. 因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 根据题意，得 例题解析 即 解这个不等式组，得 所以，的取值范围为. 解题方法 ①将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化为数学问题； ②构建等差数列模型，由条件确定 ； ③利用通项公式或等差数列的性质求解； ④将所求结果还原到实际问题中. 注意 解决等差数列实际问题的步骤： 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数. 02 等差数列的性质 问题探究 例4 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列. （1）求数列的通项公式. （2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 问题探究 （1）求数列的通项公式. 如何求等差数列的通项公式？ 由等差数列的通项公式可知，等差数列中任一项均可用首项和公差表示，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定其首项和公差即可. 分析： 问题探究 如何确定等差数列的首项和公差？ 由题中“在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列”，可得 ∵ 的公差，∴ 设数列的公差为， 则 ，所以 . 问题探究 解： （1）设数列的公差为， 由题意知，，于是 因为 ，所以 ，所以 . 所以 所以，数列的通项公式是 问题探究 如果插入个数，那么的公差是多少？ 设的公差为， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ . 问题探究 分析： 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是不是的项. （2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 问题探究 解： （2）数列的各项依次是数列的第项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列则 . 令，解得 . 所以，是数列的第8项. 问题探究 对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 令 ，得 ， ∴ 是数列的第8项. 问题探究 已知等差数列，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是否为等差数列？若取偶数项呢？ 设等差数列的公差为， 其奇数项为，是公差为的等差数列. 同样，偶数项也是公差为的等差数列. 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 问题探究 例5 已知数列是等差数列，，且. 求证. 分析： 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证. 问题探究 解： 设数列的公差为，则 所以 因为 ，所以 . 问题探究 例5是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 点是直线上的四个点， 设直线的斜率为， 则 ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ . 等差数列的性质 等差数列的项与序号的关系： ① 设数列为等差数列，若，则. 特别地，若，则，此时是与的等差中项. ② 若为有穷等差数列，则与首末“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即. 等差数列的性质 若为等差数列，且，则一定成立吗？ 设的首项为，公差为， 则 而 只有当时， 成立，否则不成立. 等差数列的性质 若为等差数列，则是成立的充要条件吗？ 在中，若，则一定有， 反之，则不一定. 如是常数列. 故是成立的充分不必要条件. 不是充要条件. 问题探究 例6 已知递增的等差数列的前三项之和为21，前三项之积为