4.2.1 等差数列的概念（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第四章 数列 等差数列的概念 授课人：XXX 第1课时 学习目标 通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 体会等差数列与一次函数的关系. 掌握等差数列的判断与证明方法. 核心素养 数学抽象 等差数列与一次函数的关系. 逻辑推理 等差数列的判断与证明方法. 数学运算 等差数列的通项公式及运用. 课程导入 我们知道，数列是一种特殊的函数. 在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 01 等差数列的概念 问题探究 请看下面几个问题中的数列. 1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 问题探究 2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48. ② 3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面 20 m 起每升高 100 m 处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③ 4. 某人向银行贷款万元，贷款时间为年. 如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为 ④ 问题探究 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律. 例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律. 类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于① 9，18，27，36，45，54，63，72，81，我们发现 换一种写法，就是 如果用表示数列①，那么有 问题探究 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 38，40，42，44，46，48. ② 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③ ④ 等差数列的定义 根据数列①~④的规律，你能归纳出等差数列的定义吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 例如，数列①的公差. 等差数列的定义 等差数列的定义中为什么是从第2项起，而不是从第1项、第3项或第n项起？ 从第2项起是因为首项没有前一项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. 如果从第3项或第n项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，只能说从第2项或第(n-1)项起是等差数列. 等差数列的定义 等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？ 不可以. 定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，如果差是常数，而这些常数不相等，则这个数列不能称为等差数列. 等差数列的定义 等差数列的定义可用数学符号语言描述为： 或 等差数列的定义 观察数列①~④的公差，推断公差的取值范围？ 数列①~④的公差分别为： . 公差可正、可负、也可为0. 因此公差的取值范围为. 等差中项 如果在数与中间插入一个数，使组成等差数列，那么应满足什么条件？ 根据等差数列的定义可以知道，， 所以 ，即 . 这时，叫做与的等差中项. 与的等差中项是它们的算术平均数. 任意两个数均有等差中项，且唯一. 等差数列的现实意义 在日常生活中，人们常常用到等差数列. 例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码），你能举出一些例子吗？ 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2021年是牛年，从2021年开始，牛年的年份依次为2021，2033，2045，2057，2069，⋯，是一个等差数列. 02 等差数列的通项公式 问题探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为. 根据等差数列的定义，可得 所以 递推公式 问题探究 于是 归纳可得 当时，上式为 . 这就是说，上式当时也成立. 等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 以上这种推导通项公式的方法叫不完全归纳法. 这种方法就是从个别情况推出一般性结论. 严格意义上，归纳法得出的结论不一定成立，需证明.