专题25 导数不等式证明与求参归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题25 导数不等式证明与求参归类 目录 【题型一】导数证明不等式（无参） 1 【题型二】导数证含三角函数型不等式（无参） 2 【题型三】导数法证明数列不等式 2 【题型四】恒成立求参1：参变分离型 3 【题型五】恒成立求参2：参变分离+洛必达型 3 【题型六】恒成立求参3：参变分离+虚设根型 4 【题型七】恒成立求参4：分类讨论型 4 【题型八】恒成立含参：放缩参数型 5 【题型九】x1与x2：双变量恒成立求参型 5 【题型十】x1与x2：存在与恒成立求参型 6 【题型十一】同构型恒成立求参 6 培优第一阶——基础过关练 7 培优第二阶——能力提升练 8 培优第三阶——培优拔尖练 9 【题型一】导数证明不等式（无参） 【典例分析】 已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线. （1）求、的值； （2）证明：. 【提分秘籍】 基本规律 应用导数证明不等式基础思维： 欲证f（x）>g（x），移项为h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）min>0,求导求最值 【变式训练】 已知函数. （1）求函数在上的最大值、最小值； （2）求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方. 【题型二】导数证含三角函数型不等式（无参） 【典例分析】 已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 【提分秘籍】 基本规律 证明不等式问题.要注意分类讨论和数形结合思想的应用．一般情况下，将不等式的证明转化为函数的单调性问题处理． 【变式训练】 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【题型三】导数法证明数列不等式 【典例分析】 已知函数 (1)求的最大值； (2)求证： 【提分秘籍】 基本规律 数列不等式证明： 1.适当选取自然是n的合适形式，作为变量x，构造函数，在对应的正整数n的取值范围内证明即可。 2.利用第一问的函数单调性，选取对应的不等式（多是极值点和最值点），代入自然数（正整数）n的合适形式，构造累加和，互相消去求和即可 【变式训练】 已知函数． (1)求证：； (2)证明：当，时，． 【题型四】恒成立求参1：参变分离型 【典例分析】 已知． (1)若有最值，求实数a的取值范围； (2)若当时，，求实数a的取值范围． 【提分秘籍】 基本规律 根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题。 常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 【变式训练】 已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【题型五】恒成立求参2：参变分离+洛必达型 【典例分析】 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数 C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是 【提分秘籍】 基本规律 如果分离参数后，函数最值点恰好是函数的“断点”，符合洛必达法则可处理，（主要是型）等，可以考虑使用洛必达法则求解。 【变式训练】 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【题型六】恒成立求参3：参变分离+虚设根型 【典例分析】 已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若对一切恒成立，求m的取值范围． 【提分秘籍】 基本规律 解题思维： （1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系。备用 （2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根 （3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围。 （4）再代入参数和互化式中求得参数范围。 【变式训练】 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【题型七】恒成立求参4：分类讨论型 【典例分析】 设，其中． （1）若有极值，求的取值范围； （2）若当，恒成立，求的取值范围． 【提分秘籍】 基本规律 分类讨论要注意讨论点的寻找和界分。 1.端点赋值法（函数一般为单增或者单减，此时端点，特别是左端点起着至关重要的作用） 2.为了简化讨论，当端点值是闭区间时候，代入限制参数讨论范围。注意，开区间不一定是充分条件。 有时候端点值能限制讨论范围，可以去除不必要讨论。 【变式训练】 已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R （1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程； （3）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 【题型八】恒成立含参：放缩参数型 【典例分析】 设函数，，. (1)求的最小值，并证明：； (2)若不等式：成立，求实数a的取值范围. 【变式训练】 已知函数的图像在点