第8章　幂的运算——类型二、同底数幂的新定义 讲义　　2022—2023学年苏科版数学七年级下册　

类型二、同底数幂的新定义 【解惑】 新定义 初级：以模仿为主，难度偏低 中级：理解题意，根据学过的知识举一反三 高级：自己能创造题目，给出定义 【融会贯通】 1．我们知道一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若规定一个新数“i”，使其满与，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则的值是（    ） A．－i B．i C．－1 D．1 2．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（　　） A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1011 D．2022k 3．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为；现把式子表示为，请你用来表示，则（    ） A． B． C． D． 4．我们规定：，例如，则的值为（   ） A． B． C． D． 【知不足】 5．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． 根据以上信息，下列各式： ①； ②； ③ ④． 其中正确的是______（填上所有正确答案的序号）． 6．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：：比如，则，若，则的结果是_________ 7．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，_______，若，，，且满足，则______． 8．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____． 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______． 【一览众山小】 10．阅读下列材料：一般地，个相同因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：________，________，________． (2)写出（1）、、之间满足的关系式________． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：________（且，，） (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 11．如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，； (1)请根据上述定义，填空： ______；______；______； (2)已知，，，且，求的值． 12．记＝﹣2，＝（﹣2）×（﹣2），＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n个－2相乘，其中n为正整数）． (1)计算：； (2)求的值； (3)说明与互为相反数． 13．阅读下列材料： 一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）． 一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）． (1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________． (2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________； (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论： =_________     ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 14．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）． 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． (1)计算以下各对数的值：log2 4= ，log2 16= ，log2 64= ． (2)观察（1）中的结果， 则log2 4、 log2 16、log2 64之间的关系是 ． (3)猜想：logaM+logaN=