专题07 数列-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题七 数列 一、考情分析 从近两年的新高考试题来看,对于数列问题每套新高考试卷通常有一道客观题（也可能没有客观题，如202全国卷I）,一道解答题,客观题大多具有小巧活的特点,可能是基础题也可能是难度较大的压轴题,解答题主要考查数列的通项与求和,一般位于解答题第17题或第18题的位置上,属于得分题. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________． 2.（2020新高考山东卷）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数,求数列的前项和． 3．（2021新高考全国卷Ⅰ卷）某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　5　；如果对折次,那么　　． 4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知数列满足, （1）记,写出,,并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 5. （2021新高考全国卷Ⅱ）设正整数,其中,记．则（ ） A. B. C. D. 6. （2021新高考全国卷Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 7.（2022新高考全国卷Ⅰ）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 8.（2022新高考全国卷Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则 A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 9. （2022新高考全国卷Ⅱ）已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 三、知识、方法、技能 1. 给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑： (1)熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等． (2)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (3)若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号 (－1)n或(－1)n＋1来适配． (4)对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． (5)注意：①通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等． ②给出数列前有限项求通项，结论不唯一，如数列的通项可以为，也可以为. 2.记住两个结论：⑴；⑵ 3. 任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用． 4.已知数列的递推关系，求数列的通项时，当出现时，可构造等比数列，设，再根据确定t. 5.解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列． ②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． 6．求数列的最值一般是利用数列的单调性来求. 若 则an最大；若 则an最小． 7. 数列周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 8.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法或. （2）等差数列的通项：或. （3）等差数列的前和：,. （4）等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且. 9.等差数列的性质： （1）当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列. （3）当时,则有,特别地,当时,则有. (4) 若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列；若是等比数列,且,则是等差数列. （5）在等差数列中,当项数为偶数时,；项数为奇数时,,（这里即）；. （6）若等差数列、的前和分别