专题06 解三角形-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题六 解三角形 一、考情分析 在新高考全国卷中,解三角形作为解答题形式考查,通常位于17题-19题位置,难度为中等或中等偏易,属于得分题,常与三角恒等变换交汇考查. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由． 问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________? 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分． 2．（2021新高考全国卷Ⅰ）记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,． （1）证明：； （2）若,求． 3. （2021新高考全国卷Ⅱ）在中,角、、所对的边长分别为、、,,.． （1）若,求的面积； （2）是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由． 4.（2022新高考全国卷Ⅰ）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知． （1）若,求B； （2）求的最小值． 5.（2022新高考全国卷II）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知． （1）求的面积； （2）若,求b． 三、知识、方法、技能 1.求角问题 （1）内角和定理：三角形三角和为.任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. （2） 正弦定理：(R为三角形外接圆的半径). 正弦定理的变式：,； （3）余弦定理：,,； （4）利用面积公式：,,. 2.求边问题 （1）边与边关系：a + b > c,b + c > a,c + a > b,a－b < c,b－c < a,c－a > b； （2）正弦定理的变式； （3）余弦定理:.变形式： ； （4）利用面积公式：; （5）射影定理：. 3.求三角形的面积 （1）＝aha＝bhb＝（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）＝＝＝； （3）＝（其中为三角形内切圆半径）,； （4）.(与向量的数量积联系) 4.求三角形的综合问题 （1） 求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性： ； ； ； . （2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一. （3）在△ABC中,熟记并会证明：∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列. （4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方； 钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方. （5）三角形内常见的不等关系 ①; ②锐角中,,; ③钝角中,设为钝角,则,. 6.求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一. 7.在△ABC中,熟记并会证明：∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A、∠B、∠C成等差数列且成等比数列. 8.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方； 钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方. 9．余弦定理的重要应用 三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用.为此,就其常见的几种变形形式,介绍如下. ①联系完全平方式巧过渡: 由则. ②联系重要不等式求范围： 由,则当且仅当等号成立. ③联系数量积的定义式妙转化： 在中,由. 10.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题 利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边,求其他边角；二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活应用. 余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一. 11.正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”