专题13 直线与平面垂直的判断与性质-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题13直线与平面垂直的判断与性质 题型归类 题型一：线面垂直概念的理解 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★+方法技巧 题型二：直线与平面垂直的判定与证明 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型三：直线与平面所成的角 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型四：线面垂直有关性质的理解 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★+方法技巧 题型五：空间中距离问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：直线与平面垂直性质定理的应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：折叠中的垂直问题 突破点二：三角形的“四心”问题 突破点三：与文化素养有关的线面角问题 突破点四：垂直关系的应用 突破点五：探求线面垂直所需条件 突破点六：“存在性”问题 一、题型归类 【题型一】线面垂直概念的理解 1★★（单选）若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 【解析】因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC。故选C。 2★★★（单选）下列四个命题中，不正确的是(　　) A．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线 C．若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直 D．若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直 【解析】选A。 3★★（多选）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，下列能保证该直线与平面垂直的有（ ） A.三角形的两边 B.梯形的两边 C.圆的两条直径 D.正五边形的两边。 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直。而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件。故选ACD。 4★★（填空）下列说法正确的有________(填序号)。 ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直。 【解析】 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确。由线面垂直的定义可得，②正确。因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确。如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确。 【方法技巧】 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线与平面内的任意一条直线都垂直”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交。 (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线。 【题型二】直线与平面垂直的判定与证明 1★★（单选）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对 【解析】连接B1D1，BD。因为几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD。又因为B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1B1。因为B1H⊂平面BDD1B1，所以AC⊥B1H。因为B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，所以B1H⊥平面AD1C。故选A。 2★★★（单选）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD. 由⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB 由⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD. 所以△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．故选D。 3★★（多选）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　) A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC 【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平