指数函数，幂函数，对数函数的增长的比较及函数模型 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较与函数模型 授课人：孙迎港 目 标 1 输入标题名称 2 输入标题名称 3 输入标题名称 4 输入标题名称 情景导入 每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米 方案二：每年树木面积比上一年增加9% 哪个方案更好？ 新知概念 一、三种函数的增长与衰减比较 1、三种函数的增长趋势 （1）指数函数：当时，指数函数是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。增长速度先慢后快。 （2）对数函数：当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。增长速度先快后慢 （3）幂函数：当时，幂函数是增函数，并且当时，越大，其函数值的增长就越快。增长速度随着值的不同而不同。 2、三种函数的的衰减比较 （1）指数函数：当时，指数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 （2）对数函数：当时，对数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 （3）幂函数：当时，幂函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 （1）当越来越大时，下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（ ） A、 B、 C、 D、 （2）【多选题】下列对数函数与在区间上的衰减情况的说法正确的是（ ） A、的衰减速度越来越慢 B、的衰减速度越来越快 C、的衰减速度越来越慢 D、的衰减速度越来越快 对点练习 二、建立函数模型解决实际问题的步骤 1、常用的函数模型 （1）一次函数模型： （2）二次函数模型： （3）反比例函数模型： （4）指数型函数模型： （5）对数型函数模型： （6）幂型函数模型： （7）分段函数模型： （8）对勾函数模型： 2、建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题。 （2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型） （3）求解函数模型，得出数学结论 （4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，看是否符合实际。 典例剖析 题型一 一次函数模型 例1、某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ） 2 A、310元 B、300元 C、290元 D、280元 题型二 二次函数模型 例2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）。根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元） 与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第八个月公司所获得的利润. 题型三 指数函数模型 例3、自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数与年份代码（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式； (2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，） 题型四 对数函数模型 例4、每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家 经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是 ，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差（ 结果保留到整数位。参考数据： (1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位. (2)若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 题型五 幂函数模型 例5、食品安全问题越来越引起人们的重视，农药化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害。为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚中西红柿，乙大棚种黄瓜。根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与各自资金投入（单位：万元）满足： ，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元），求的最大值。 题型六 分段函数模型 例6、