专题七 第4讲 样题展示3 导数与函数的零点（专题微讲PPT）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学文科大二轮专题复习

考前顶层设计 （大二轮） 数 学（文） 1 2 专题微讲 高效复习分层设计 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 专题七 函数与导数 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 第4讲 导数压轴题考向探究 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 样题展示3 导数与函数的零点 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（文） 17 【样题】　(2022·全国乙卷)已知函数f (x)=ax--(a+1)ln x。 (1)当a=0时,求f (x)的最大值; (2)若f (x)恰有一个零点,求a的取值范围。 [命题立意]　本题考查利用导数研究函数的单调性,体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解】　(1)当a=0时,f (x)=--ln x(x>0), 则f '(x)=-=。 当x∈(0,1)时,f '(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f '(x)<0。所以f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故f (x)的最大值即为f (x)的极大值f (1)=-1。 (2)解法一:因为函数f (x)恰有一个零点,所以方程a(x-ln x)--ln x=0在(0,+∞)上恰有一个解,即方程a(x-ln x)=+ln x在(0,+∞)上恰有一个解。 又易知当x>0时,x-ln x>0,所以方程a=在(0,+∞)上恰有一个解。 分离参数避免讨论 令g(x)=(x>0), 则g'(x)=。 令h(x)=x-1-(x+1)ln x(x>0), 则h'(x)=1-ln x-=-ln x-。  二次求导的目的是确定g(x)的单调性 由(1)知,h'(x)≤-1,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减。又h(1)=0,所以当x∈(0,1]时,h(x)≥0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0。 则当x∈(0,1]时,g'(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0。所以g(x)在(0,+∞)上单调递减。 又当x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→0,所以a∈(0,+∞)。 解法二:f (x)=ax--(a+1)ln x(x>0), f '(x)=a+-==。 当a≤0时,由f '(x)>0得0<x<1;由f '(x)<0得x>1,所以f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。 所以f (x)max=f (1)=a-1≤-1<0,f (x)无零点,舍去; 画出草图确定无零点 当0<a<1时,由f '(x)>0得0<x<1或x>;由f '(x)<0得1<x<,所以f (x)在(0,1),,+∞上单调递增;在1,上单调递减。 又f (1)=a-1<0,取0<a<,则f =--a-1+2(a+1)ln a>e2---3>0,  取特殊点进行“卡点”,证明f (x)在,有零点 所以f (x)存在唯一零点; 当a=1时,f '(x)≥0恒成立,所以f (x)在(0,+∞)上单调递增,又f (1)=a-1=0,所以f (x)存在唯一零点; 当a>1时,由f '(x)>0得0<x<或x>1;由f '(x)<0得<x<1,所以f (x)在0,,(1,+∞)上单调递增;在,1上单调递减, 又f (1)=a-1>0, 取a>2,则f =-ea+a2+a<-ea+a2+a<-e2+6<0, 卡点确定零点的存在,画出草图确定零点的唯一性 所以f (x)存在唯一零点。 综上可知,若f (x)恰有一个零点,则实数a的取值范围是(0,+∞)。 [命题评价]　本题解法二的关键是对参数进行分类讨论,结合零点存在定理及函数的图象确定a的取值范围,难点是如何“卡点”确定零点的存在性。本题思维较大,突出了高考对数学应用性的要求,体现了高考的选拔功能。 　　【样题变式1】　(2022·合肥市质量检测)已知函数f (x)=x2-asin x-1,a∈R。 (1)设函数g(x)=f '(x),若y