专题六 第3讲 样题展示1 求值问题 （专题微讲PPT）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

考前顶层设计 （大二轮） 数 学（理） 1 2 专题微讲 高效复习分层设计 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 专题六 解析几何 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 第3讲 圆锥曲线压轴题考向探究 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 样题展示1 求值问题　 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 赢在微点 无微不至 第‹#›页 考前顶层设计 数学（理） 19 命|题|分|析 　　解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识板块,是高考考查的重点知识之一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。试题难度较大,多以压轴题出现。 解答题的热点题型有: 1.直线与圆锥曲线的位置关系。 2.圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。 3.轨迹方程及探索性问题的求解。 【样题】　(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0。 (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积。 [命题立意]　本题考查双曲线的标准方程及其几何性质、直线与双曲线的位置关系、三角形面积的计算公式、利用设而不求法求直线的斜率,考查数形结合思想、函数与方程思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解】　(1)因为点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,所以-=1,解得a2=2。所以双曲线C的方程为-y2=1。 显然直线l的斜率存在,可设其方程为y=kx+m。联立得方程组 消去y并整理,得(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0。Δ=16k2m2+4(1-2k2)(2m2+2)=8m2+8-16k2>0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=。 由kAP+kAQ=0,得+=0, 即(x2-2)(kx1+m-1)+(x1-2)(kx2+m-1)=0。 根据直线AP、AQ的斜率关系列出方程,为求l的斜率做理论准备 整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k·+(m-1-2k)·-4(m-1)=0,即(k+1)(m+2k-1)=0。 化简过程体现运算能力 因为直线l不过点A,所以k=-1。 注意直线l不过点A,否则无法求值 (2)设∠PAQ=2α,0<α<,则tan 2α=2,所以=2,解得tan α=(负值舍去)。 由(1)得k=-1,则x1x2=2m2+2>0, 所以P,Q只能同在双曲线左支或同在右支。 分类讨论 当P,Q同在左支时,tan α即为直线AP或AQ的斜率。设kAP=。因为为双曲线一条渐近线的斜率,所以直线AP与双曲线只有一个交点,不成立。 排除不适合条件的情况 当P,Q同在右支时,tan-α=即为直线AP或AQ的斜率。 设kAP==,则kAQ=-,所以直线AP的方程为y-1=(x-2),即y=x-2+1。联立得方程组 消去y并整理,得3x2-(16-4)x+20-8=0,则xP·2=,解得xP=。所以|xA-xP|=2-=。同理可得|xA-xQ|=。 为应用正弦定理求△PAQ的面积做准备 因为tan 2α=2,0<2α<π,所以sin 2α=, 所以S△PAQ=|AP|·|AQ|·sin 2α=××|xA-xP|××|xA-xQ|×sin 2α=×3××=。 这里可以应用弦长公式求弦长AP与AQ,也可以数形结合通过直角三角形求弦长,进而求出△PAQ的面积 [命题评价]　本题思维量及运算量都较大,考查了学生的逻辑推理能力及运算能力,是高校选拔人才的良好素材,体现了知识的综合性及应用性。求解第(1)问的关键是对几何条件的翻译和转化,即把直线斜率之间的关系转化为坐标间的关系,转化的难点是运算和因式分解;求解第(2)问的关键是借助图形求出