第八章 成对数据的统计分析(知识详解)-2022-2023学年高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版2019选择性必修第三册）

第八章成对数据的统计分析知识详解 一、相关关系的分类： 散点图 1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关； 如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。 例1．如下四个散点图中，正相关的是（ ） A． B． C． D． 举一反三 1：下列两个变量之间的关系是相关关系的是（       ）． A．正方体的棱长和体积 B．单位圆中圆心角的度数和所对弧长 C．学生的学籍号与学生的数学成绩 D．日照时间与水稻的亩产量 2.（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量间具有相关关系的是（       ）． A． B． C． D． 二、线性相关： 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。 例2．已知变量，，都是正数，与的回归方程：，且每增加1个单位，减少2个单位，与的回归方程：，则（ ） A．与正相关，与正相关 B．与正相关，与负相关 C．与负相关，与正相关 D．与负相关，与负相关 举一反三 1．在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ） A． B． C．1 D．-1 2．（2015·北京·高考真题（文））高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是___； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是___. 三．样本相关系数： r＝ ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 相关关系的强弱 样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 注意点： 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 样本相关系数的实际应用 当样本相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当样本相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱． 例3：1．下列说法错误的是（       ） A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．若，且，则 C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64% D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 2．（多选）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是(       ) A． B． C． D． 举一反三 1．设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型______. 2．身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量其身高、体重的数据如下表. 学生编号 1 2 3 4 5 身高x/cm l65 170 175 170 170 体重y/kg 58 67 67 65 63 (1)求体重关于身高的线性回归方程，并预测身高为180cm的同学的体重； (2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，. 四．最小二乘法求回归方程： (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有