专题强化02 二次根式规律-2022-2023学年八年级数学下册知识考点过关周周测（沪科版）

专题002二次根式规律 一、解答题 1．观察下列等式： 解答下列问题： （1）写出一个无理数，使它与的积为有理数； （2）利用你观察的规律，化简； （3）计算：． 2．观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　   　，=　     　；猜想=　      　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 3．阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1） ， ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 4．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：___________； (2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (4)请利用你发现的规律，计算：. 5．观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证． (2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明． 6．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)化简：______； (2)观察上述规律并猜想；当是正整数时，______（用含的式子表示，不用说明理由）． (3)计算：． 7．阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…， 发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝ ． 8．观察下列各式： 11； 11； 11； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　 　； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题002二次根式规律 一、解答题 1．观察下列等式： 解答下列问题： （1）写出一个无理数，使它与的积为有理数； （2）利用你观察的规律，化简； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由平方差的运算法则，即可得到答案； （2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案； （3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴这个无理数为：； （2）==； （3） = =． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键． 2．观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　   　，=　     　；猜想=　      　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 【答案】(1) ;(2) 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可． 【详解】（1）∵S1=1+ ，∴； ∵S2=1+，∴； ∵S3=1+，∴； ∵Sn=1+，∴； （2）解：S=           =           =                      = 【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法． 3．阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴