8.3正态分布-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第8章 概率 8.3正态分布 目标导航 课程标准 重难点 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义. 重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征； 难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义. 知识精讲 知识点01 正态曲线 1. 定义∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线（钟形曲线），它对应的函数为，其中μ=E（X），σ=. 2.性质∶ （1）正态曲线关于x=μ对称（即μ决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点； （2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； （3）σ决定正态曲线的“胖瘦”∶σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 3.面积∶正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围的面积约为0.3413，在区间[μ+σ，μ+2σ]内所围的面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围的面积约为0.0215.r如图： 注意：（1）二项分布分布列的直观图的特点∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的性质. （2）参数u是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；o是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. 【即学即练1】（2022·上海·华师大二附中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【即学即练2】（2022·全国·）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 知识点02 正态分布 1.定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于μ，σ（x）对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X~N（u，σ2），此时μ，σ（x）称为X的概率密度函数，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差. 2. 正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N（μ，σ2）则 （1）P（X≤μ）=P（X≥μ）=50%； （2）P（|X-μ|≤σ）=P（u- σ≤X≤μ+σ）≈68.3%； （3）P（|X-μ|≤2σ）=P（u- 2σ≤X≤μ+2σ）≈95.4%； （4）P（|X-μ|≤3σ）=P（u- 3σ≤X≤μ+3σ）≈99.7%. 1.正态分布的3σ原则 由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上面可知在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率为4.6%，在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%，于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． 由3σ原则我们可以知道，随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件．通常情况下，我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或不正常． 【即学即练3】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布（单位：m），，则（    ） A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9 知识点03 标准正态分布 1.定义∶μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布. 2.（a）的概念∶如果X~N（0，1），那么对于任意a，通常记（a）=P（X<a），即（a）表示N~（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（- ∞，a）内所围的面积. 3.（a）的性质：（- a）+（a）=1. 【即学即练5】（2020·黑龙江实验中学）如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（    ）注： A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练6】(多选)（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 能力拓展 ◆考点01 正太曲线及其性质的应用 【典例1】（2022·全国·）已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【典例2】（2022·全国·）已知随机变量服从正态