8.2.3二项分布-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第8章 概率 8.2.3二项分布 目标导航 课程标准 重难点 1.结合生活中的实例，了解二项分布. 2。了解二项分布的均值和方差及意义. 重点：二项分布的理解； 难点：二项分布的均值和方差及意义. 知识精讲 知识点01 n次独立重复试验 1. n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2. n次独立重复试验中事件A发生k次的概率 一般地，事件A在n次独立重复试验中发生k次，共有C种情形，由试验的独立性知 " A在k次试验中发生，而在其余（n- k）次试验中不发生"的概率都是pk·(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率为Pk(k)＝Cpk(1－p)n－k（k=0，1，2，…，n）. 注意： （1）上述公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用； （2）使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义∶n为独立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1-p是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数； （3）独立重复试验是相互独立事件的特例.一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n次独立重复试验概率公式计算更简便. 【即学即练1】（2022·全国·）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【即学即练2】（2021·全国·高二课时练习）独立重复试验满足的条件是___________.（填序号） ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的. 知识点02 二项分布 定义∶一般地，如果一次伯努利试验中，出现"成功"的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…k，…n}，而且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－kk＝0,1,2，…，n. 因此X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … n P C(1－p)n Cp1(1－p)n－1 … Cpk·(1－p)n－k … Cpn·(1－p)0 称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝C(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此分布叫做二项分布． 注意： （1）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布 （2）判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件∶ ①对立性∶在一次试验中，事件A发生与否必居其一. ②重复性∶试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断. 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的个数是（    ）． ①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布； ③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练4】（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 两点分布、二项分布的均值 （1）若X服从参数为p的两点分布，则E（X）=p. （2）若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B（n，p），则E（X）=np 【即学即练5】（2022·湖北孝感·高二期末）已知随机变量，且，则（    ） A． B．12 C． D．24 【即学即练6】（2022·重庆·高二阶段练习）（多选）已知随机变量满足，若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 知识点04 两点分布与二项分布的方差 （1） 若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D（X）=p（1-p）.