8.2.2离散型随机变量的数字特征-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第8章 概率 8.2.2离散型随机变量的数字特征 目标导航 课程标准 重难点 1.了解离散型随机变量的期望与方差标准差的意义； 2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望与方差； 33.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望与方差。 重点：离散型随机变量的期望与方差的理解； 难点：离散型随机变量的期望与方差得简单应用. 知识精讲 知识点01 离散型随机变量的均值 1.定义∶一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示∶ X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. 为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）. 2.意义∶离散型随机变量X的均值用E(X）或EX表示，它刻画了X的平均取值，在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E（X）处于平衡位置. 注意∶ （1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数. （2）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平. 注意：1.由随机变量的均值（数学期望）的定义知，离散型随机变量的均值（数学期望）与它本身有相同的单位. 2. E（X）是一个常数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，可取不同值，而E（X）是不变的，它描述的是X取值的平均水平. 3.随机变量的分布列相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个随机变量的分布列未必相同；两个不同的随机变量的分布列也可能有相同的均值.以上三个方面表明分布列描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值，而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. 3.性质∶若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b（a≠0），E（Y）=E（aX+b）=aE（X）+b. 【即学即练1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（    ）万元. A．80 B．70 C．50 D．40 【即学即练2】已知某随机变量X的分布为 则等于（    ）A． B． C． D．无法确定 知识点02 离散型随机变量的方差与标准差 1.定义∶如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，称为离散型随机变量X的数学方差；D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差． 2.意义∶方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）. 3.性质∶①设a,b为常数，且a≠0，若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b（a≠0），则D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)。 ②D(c)=0(其中c为常数) 【即学即练3】若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【即学即练4】随机变量的分布列是 1 2 若，则（    ）A．1 B．4 C． D． 能力拓展 ◆考点01 离散型随机变量的均值定义的应用 【典例1】（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元．如果卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）如下表： 需求量 10 11 12 13 14 15 频数 8 20 24 27 14 7 将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率． (1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)若蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕，以每日销售利润的数学期望为决策依据，你认为应制作13个还是14个？请说明理由． 【典例2】（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学）现有4所学校，每校派出3名教师，这12名教师中，经过选拔挑出4名教师参加技能比赛. (1)恰有2名教师来自同一所学校的概率； (2)设这4名教师来自的学校个数记为，求的分布列和数学期望. ◆考点02 离散型随机变量的方差与变化尊差 【典例3】（2022·全国·）已知随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2．若记，分别为，的方差，