专题07 复数的加、减、乘、除运算及几何意义-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题07复数的加、减、乘、除运算及几何意义 题型归类 题型一：复数的加法与减法运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型二：复数加、减运算的几何意义 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型三：复数的最值问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型四：复数的乘法运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型五：复数的除法运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：复数乘、除运算的综合应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型七：复数范围内方程的解 单选1★★+2★★★+填空3★★解答4★★+方法技巧 难点突破 突破点一：复平面能轨迹与最值 突破点二：复平面内含参问题 突破点三：新定义运算 突破点四：复数与其他知识综合 突破点五：文化素养欧拉公式 突破点六：复数模的综合问题 一、题型归类 【题型一】复数的加法与减法运算 1★★（单选）[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]＝(　　) A．－2b－2bi B．－2b＋2bi C．－2a－2bi D．－2a－2ai 【解析】原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋＋(a－b)]i＝－2b－2bi。故选A。 2★★★（单选）△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，所以P为△ABC的外心。故选A。 3★★（多选）下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的表述正确的是(　　) A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离 C．点(2,1)到原点的距离 D．坐标为(－2，－1)的向量的模 【解析】由复数的几何意义，知复数(3＋2i)，(1＋i)分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离，故A对；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i与向量(2,1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i与向量(－2，－1)一一对应，故C，D正确。故选ACD。 4★★（填空）设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则＋z2)＝________。 【解析】z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3。 答案　3＋3 5★★（解答）(1)计算：(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i)； (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2。 【解析】(1)(8－2i)－(－7＋5i)＋(3＋7i) ＝[8－(－7)＋3]＋(－2－5＋7)i＝15＋3。 (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i) ＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i。 【方法技巧】 复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部。 (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减。 (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算。 【题型二】复数加、减运算的几何意义 1★★（单选）如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点A，B，O.对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 【解析】因为＝＋ ， 所以对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i， 所以点C对应的复数为－1＋3i. 2★★★（单选）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么(　　) A.z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 【解析】由题图可知，＋＝0， 所以＋－＝0， 所以z1