03 函数中的构造问题、公切线问题 同步复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 03 函数中的构造问题、公切线问题 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 函数中的构造问题 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 知识链接02 函数中的常见构造形式 （1）f(x)与xn相结合构造可导函数的几种常见形式： nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. （2）f(x)与enx相结合构造可导函数的几种常见形式： f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. （3）f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝，F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝，F′(x)＝. 知识链接03 公切线问题 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 （1）已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(2)＝5，对任意的x都有f′(x)<， 则f(x)<x＋4的解集是________． （2）设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为________． 典例剖析02 利用f(x)与x构造可导型函数 （1）设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0， 则不等式xf(x)>0的解集为________． （2）已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时， 2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________． 典例剖析03 利用f(x)与ex构造可导型函数 （1）已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于 x∈R恒成立，则(　　) A．f(2)>e2f(0)，f(2 021)>e2 021f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2 021)>e2 021f(0) C．f(2)>e2f(0)，f(2 021)<e2 021f(0) D．f(2)<e2f(0)，f(2 021)<e2 021f(0) （2）若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>的解集为________． 典例剖析04 利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数 （1）已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中 f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是(　　) A．f <f  B．f <f  C．f(0)<f  D．f(0)<2f  （2）已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x>f(x)cos x(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是 A． f <－f  B．f <－f  C．f <2f  D．f <f  典例剖析05 两曲线的公切线问题 （1）已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为 ． （2）已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 ． （3）已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函