02 导数与函数的单调性 同步复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 02 导数与函数的单调性 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接 函数的单调性与导数的关系 （1）函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则：（“定义域优先” 原则） （ⅰ）若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； （ⅱ）若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； （ⅲ）若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数． （2）函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则： （ⅰ）f(x)在(a，b)内是增函数 f′(x)≥0恒成立且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零； （ⅱ）f(x)在(a，b)内是增函数 f′(x)≤0恒成立且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零； （ⅲ）f(x)在(a，b)上存在递增区间当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 不含参数的函数的单调性 （1）如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增 B．在区间(1,3)上f(x)单调递减 C．在区间(4,5)上f(x)单调递增 D．在区间(3,5)上f(x)单调递增 （2）下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin 2x　 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x （3）函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________． （4）函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是________． （5）函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递减区间为________． （6）函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________． （7）已知定义在(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x， 则f(x)的单调递增区间是 ． （8）函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是 ． 典例剖析02 含参的函数的单调性 （1）已知函数f(x)＝x－aln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调性． （2）已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋x＋，a∈R，讨论函数f(x)的单调性． （3）已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋－ax＋2(a∈R) ，讨论f(x)的单调性． （4）已知函数f(x)＝(m≥0)，讨论函数f(x)的单调性． （5）已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，a∈R，讨论函数f(x)的单调性． 典例剖析03 函数单调性的应用（大小比较、解不等式） （1）已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A．f >f(1)>f  B．f(1)>f >f  C．f >f(1)>f  D．f >f >f(1) （2）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________． （3）在R上可导的函数f(x)的图象如图所示， 则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) （4）已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数． 若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 典例剖析04 根据函数的单调性求参数的值(范围) 设函数g(x)＝x3－x2＋2x＋1. （1）若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，求实数a的值． （2）若g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数a的取值范围． （3）若g(x)在(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． （4）若g(x)在(－2，－1)内不单调，求实数a的取值范围． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为 ． 3．函数y＝2ln x－3x2的单调递增区间为________． 4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a 5．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为