专题2.2 一元二次方程的应用（八大题型） 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题2.2 一元二次方程的应用（八大题型） 专题讲练 知识储备 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题；7）动态问题；8）其他问题。 3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1）增长率问题：a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2）降低率问题：a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 4.传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5. 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 重要题型 题型1．与图形有关的面积（体积）问题 1）图形面积问题 解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程并解答。 2）围墙问题 解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；⑥根据未知数的取值范围，确定答案。 例1．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ） A．15 B．10 C．10或15 D．12.5 【答案】A 【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300， 解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据． 变式1．（2022•萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米． （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长； （2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论； （3）设CD＝y（0＜y≤15）