8.6.3 平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定）-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）平面与平面垂直的判定 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小． 2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系． 3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。 1.数学抽象：二面角的有关概念； 2.逻辑推理：用定理证明垂直关系； 3.数学运算：求简单二面角平面角的大小； 4.直观想象：面面垂直的定义。 概念梳理 1.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q. (2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (2)图形： (3)范围：0°≤α≤180°. 2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 α⊥β. (2)图示： (3)判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β 【概念辨析】 1：在表示二面角的平面角时，要求OA⊥l，OB⊥l。 2：∠AOB 的大小与O点在l上的位置无关。 3：面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直。 4：此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据。 5：判断两个平面垂直有：①定义法；②利用面面垂直的判定定理。 回归教材 1. 如图, 检查工件的相邻两个 (平) 面是否垂直时, 只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上, 另一边在工件的另一个面上转动, 观察尺边和这个面是否密合就可以了. 这是为什么? 【解析】如图, 因为 且 . 根据线面垂直的判定定理, 可得 , 又 , 根据面面垂直的判定定理, 可得 . 2. 已知直线 与平面 , 能使 的充分条件是（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】D 3. 如下页图, 平面 , 你能发现哪些平面互相垂直, 为什么? 【解析】平面 平面 . 平面 平 面 . 平面 平面 . 理由如下： 平面 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 平面 BCD.由 平面 , 得 .又 平面 , 平面 平面 . 4.如图, 在正三棱柱 中, 为棱 的中点. 求证: 平面 平面 . 【证明】 三棱柱 为正三棱柱, 则 为正三角形.又 为棱 中点,.又 底面 ,.又 , 平面 , 平面 平面 . 题型讲解 探究（一）二面角的概念及求法 【典例1】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 B-A1C1-B1的正切值． 【解析】取 的中点，连接. 由题意知 ，又为的中点，所以 ，所以即是二面角B- 的平面角.因为 平面平面 ，所以设正方体的棱长为 ，则 ，在 Rt 中， ，所以二面角 的正切值为. 【方法总结】 求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． 【补充训练1】下列命题中正确的是( ) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a， b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作 射线所成的角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系 【解析】由二面角及其平面角的概念知 B正确。故选B 【补充训练2】如图所示，已知三棱锥 A－BCD 的各棱长均为 2，求二面角 A－CD－B 的平面角的余弦值为 【解析】如图，取 CD 的中点 M，连接 AM，BM，则 AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB 为二面角 A－CD－B 的平面角．设点 H 是△BCD 的中心，连接 AH，则 AH⊥平面 BCD，且点 H 在线段 BM 上．在 Rt 中, ，，则 ，即所求二面角的平面角的余弦值为 . 【补充训练3】（多选）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，关于这两个二面角的说法错误的有( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 【解析】如图所示，平面 EFDG⊥平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时，平面 HDG 始终与平面 BCD 垂直，因为二面角 H－DG－F 的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不