8.6.2 直线与平面垂直（第1课时直线与平面垂直的判定）-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）直线与平面垂直的判定 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.了解直线与平面垂直的定义． 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题． 4.能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明． 1.逻辑推理：判断直线与平面垂直； 2.数学运算：求直线与平面所成角； 3.直观想象：直线与平面垂直的定义； 概念梳理 1．直线与平面垂直的定义 (1)定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作⊥. (2)相关概念： (3)结论 ①过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条； ②垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号 ⊥，⊥， ⊂， ⊂，∩＝P⇒⊥ 图形 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角； (2)相关概念： (3)范围：∈[0°，90°]，当＝0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当＝90° 时，直线与平面互相垂直． 【概念辨析】 1：直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”。 2：该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”。 3：直线与平面所成的角中强调的是“斜线与射影所成的角”，而不是其他的角。 4：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线” 否可以换成“所有直线”，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直。 5：若⊂ ，⊥，则⊥。 6：在直线和平面所成角的定义中，点P具有任意性，它是斜线上异于斜足 A 的任意点。 7：斜线在平面上的射影是一条直线，而不是一条线段，它是过斜足和垂足的一条直线。 回归教材 1. 如果两条直线和一个平面所成的角相等, 那么这两条直线一定平行吗? 【解析】这两条直线不一定平行, 它们也可以相交, 也可以异面. 如图所示, 在正方体中, 分别是的中点, 易知 与平面所成的角都相等, 其中 与 异面. 2. 如图, 四棱锥的底面是正方形, 平面, 求证: 平面. 【证明】平面 平面，. 又底面为正方形，，，。 3. 如图, 在直四棱柱中,当底面四边形满足什么条件时, ? 【解析】 四棱柱为直四棱柱, . 若, 则 平面，，，. 当, 即底面四边形的对角线互相垂直时, 4. 过所在平面外一点, 作,垂足为,连接, (1) 若, 则点是的 心. (2) 若, 则点是边的 点. (3) 若, 垂足都为, 则点是的 心. 【解析】(1)外 (2) 中 (3) 垂 (1)连接.且为公共边, Rt Rt Rt,,为的外心.当时, 为边的中点. (1)、(2) 两问的答案即证出. (2)连接并延长分别交于两点. , , . . ，，， ，即点为的垂心. 题型讲解 探究（一）直线与平面垂直的定义与判定 【典例2】如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△PAD 为正三角形，且E是AD的中点． 求证：BC⊥平面 PEB. 【解析】连接 BD.因为 E 是正三角形 PAD 边 AD 的中点，则 PE⊥AD. 因为四边形 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°， 所以正三角形 BAD 中，BE⊥AD，因为 AD∥BC，所以 BC⊥PE，BC⊥BE，又因为PE∩BE＝E 所以BC⊥平面PEB. 【方法总结】 1．线线垂直和线面垂直的相互转化 2．证明线面垂直的方法 在推线线垂直的过程中，若三角形的三边长符合勾股定理，则三角形是直角三角形，两直角边相互垂直，得到线线垂直．即通过计算证明垂直关系． 【补充训练1】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A．平面 OAB B．平面 OAC C．平面 OBC D．平面 ABC 【解析】因为 OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，所以 OA⊥平面OBC。故选C。 【补充训练2】下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【解析】当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l 与