8.6.1 直线与直线垂直-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 直线与直线垂直 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． 2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角． 1.数学抽象：异面直线所成的角的定义； 2.逻辑推理：作异面直线所成的角； 3.数学运算：求异面直线所成的角； 概念梳理 1.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. (3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b. (4)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°。 【概念辨析】 1：研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线。这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题。 2：与平面内两直线垂直的概念是一致的，统一的，可以看作是平面内直线垂直的推广，两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直。 3：在定义中，空间一点O是任取的，根据空间等角定理，可以判定异面直线a，b所成的角与直线a′，b′所成的锐角(或直角)相等，角的大小与点O的位置无关。为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。 4：若直线a与直线b是异面直线，直线a′∥a，直线b′∥b，且a′与b′相交所成的钝角是120°，那么a与b所成的角也是120°，这种说法是错误的。异面直线a与b所成的角是60°。 回归教材 1. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画 “ √ ”, 错误的画 “×. （1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直, 那么另一条也与已知直线垂直. （ ） （2）垂直于同一条直线的两条直线平行. （ ） 【解析】(1) √ (2) × 2. 如图, 在长方体 的各条棱所在直线中, (1) 与直线垂直的直线有 (2) 与直线异面且垂直的直线有__条; (3) 与直线和都垂直的直线有 __条; (4) 与直线和都垂直且相交的直线是直线 【解析】(1) 8 (2) 4 (3)4 (4) 3. 如图, 在长方体 中, , 求: (1) 直线 和 所成的角的大小; (2) 直线和所成的角的大小. 【解析】(1) , 就是与所成的角,又, , 直线与所成的角是. (2) , 就是与所成的角,,, 直线与所成的角是. 4. 如图, 在正三棱柱 中, 为棱的中点, , 求证 . 【证明】取的中点, 连接, 取的中点, 连接，，，，. 中，，，， 题型讲解 探究（一）异面直线所成的角 【典例1】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4， 求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值． 【解析】如图连接 BC1，与 B1C 交于点 O，则 O 为 B1C 的中点，取 AB 的中点D，连接 CD，OD，所以 OD∥AC1，OD＝AC1，所以∠COD 或其补角为异面直线 AC1与 B1C 所成角，因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，且 AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，所以 AC1 ＝5，所以 ，所以由余弦定理知，，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 【方法总结】异面直线所成的角的求法 (1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移，使两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角． (2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角． (3)根据空间中角的直观图无法直接判断角是锐角、直角、钝角，因此作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是其补角． 【补充训练1】在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【解析】如图, 补上一个相同的长方体 , 连接 。易知 , 则 (或其补角) 为异面直线与所成角。因为在长方体 中, , 所以 。在 中, 作 于点 , 则为 的中点, 所以, 则 , 即异面直线 与所成角的余弦值为 。故选 。 【补充训练2】在空间四边形 ABCD 中，AB＝CD，且 AB 与 CD 所成的角为 30°，E，F 分别为BC，AD 的中点，则 EF 与 AB 所成角的大小为 【解析】如图所示，取 AC 的中点 G