8.5.1 直线与直线平行-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

8.5.1 直线与直线平行 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1.正确理解基本事实4和等角定理； 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题. 1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解； 2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用. 概念梳理 1：基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 文字语言 符号语言 直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 2：空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋ ∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【概念辨析】 1：等角定理可以推广为：如果两条相交直线与另两条相交直线 分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。 2：基本事实4的实质是说平行具有传递性性；是判断空间两条直线平行的依据。 回归教材 1. 如图, 把一张矩形纸片对折几次, 然后打开, 得到的折痕互相平行吗? 为什么? 【解析】平行,由基本事实4可知 2. 如图, 在长方体中, 与棱平行的棱共有几条? 分别是什么? 【解析】与棱ＡＡ′平行的棱共３条，分别是ＢＢ′，ＣＣ′，ＤＤ′ 3. 如图, 不共面, 且 . 求证: . 【证明】∵ ＡＡ′∥ＢＢ′且 ＡＡ′＝ＢＢ′， ∴ 四边形ＡＡ′Ｂ′Ｂ为平行四边形， ∴ ＡＢＡ′Ｂ′，同理 ＢＣＢ′Ｃ′，∴ ＡＣＡ′Ｃ′， ∴ △ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′． 4. 如图, 在四面体 中, 分别为上的点. 若, 则和有什么关系? 为什么? 【解析】 △ＥＦＧ和△ＢＣＤ相似． ∵ ＥＦ∥ＢＣ，ＦＧ∥ＣＤ， ∴ 且∠ＥＦＧ＝∠ＢＣＤ， ∴ △ＥＦＧ∽△ＢＣＤ 题型讲解 探究（一）空间直线平行的判定及应用 【典例1】如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF 沿 EF 翻折起来，使 CD 到 C′D′的位置，G，H 分别为AD′和 BC′的中点， 求证：四边形 EFGH 为平行四边形． 【证明】因为梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 分别为 BC，AD 的中点，所以 EF∥AB 且 EF＝(AB＋CD). 又 C′D′∥EF，EF∥AB，所以 C′D′∥AB. 因为 G，H 分别为 AD′，BC′的中点， 所以 GH∥AB 且 GH＝ (AB＋C′D′)＝ (AB＋CD)，所以 GHEF，所以四边形 EFGH为平行四边形． 【方法总结】关于空间中两直线平行的证明 (1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边． (2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实 4，柱体中相对的棱、对角线等的平行关系． 【补充训练1】.如图所示，在三棱锥 S－MNP 中，E，F，G，H 分别是棱SN，SP，MN，MP 的中点，则EF与HG 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【解析】因为 E，F 分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN。同理可证HG∥PN，所以EF∥HG。 【补充训练2】如图所示，在长方体木块 AC1中，E，F 分别是 B1O 和 C1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有 条 【解析】EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1 【补充训练3】（多选）如图所示，在空间四边形 ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F， G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点.下列说法正确的有（ ） A. 四边形 EFGH 是平行四边形 B. 四边形 EFGH 是矩形 C. 如果 AC＝BD，四边形 EFGH 是菱形. D. 如果 AC＝BD，四边形 EFGH 是正方形. 【解析】因为空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，所以 EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以 EF∥HG，EF＝HG，所以四边形 EFGH 是平行四边形. 因为空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点， 所以 EH∥BD，EH＝BD. 因为 EF＝AC，AC＝BD，所以 EH＝EF. 又因为四边形 EFGH 是平行四边形，所以四边形 EFGH 是菱形.故选AC 【方法总结】证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实 4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点. 探究（二）等角定理及应用 【典例2】如图在