专题17.1 勾股定理 重难点题型12个-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题17.1 勾股定理 重难点题型12个 题型1.勾股树与面积问题再探究 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题. 1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形，∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是，，， 根据勾股定理，得，即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：D 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键． 3．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________． 【答案】14 【分析】根据勾股定理可知SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，代入即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积分别为3、7、1、3， ∴SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，∴SE=SA+SB+SC+SD=3+7+1+3=14， ∴正方形E的面积为14．故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，特别要注意条件中给出的是正方形的边长还是面积，属于基础题． 4．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（       ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】如图所示，连接， 在中， 即；同理，在中， 即则 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可． 5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案． 【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容． 6．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出AC2+BC2=AB2,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵ ∴AC2+BC2=AB2=3 ∴S阴影=AC2+BC2+AB2=（AC2+BC2）+AB2=AB2+AB2=AB2=3．故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理成为解答本题的关键． 题型2.赵爽弦图相关问题 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题. 1．（2022·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ） A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2 【答案】C 【分析】设直角三角形的斜边为c，短