专题17.2 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

专题17.2 勾股定理中的最短路线与翻折问题 专题讲练 勾股定理中的最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 题型1.圆柱有关的最短路径问题 【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结： 1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·四川成都·八年级期中）如图所示，有一圆柱，其高为8cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________cm．（π取3） 【答案】 【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高8cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长． 【详解】解：如图所示， 圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高8cm，宽为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得：AB=（cm）． ∴蚂蚁经过的最短距离为cm．（π取3）故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开图－最短路径问题，解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可． 例2．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm． 【答案】15 【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作； ∵底面周长为24cm，∴∵，∴cm， ∴cm，故答案为：15． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键． 例3．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为__________．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】将杯子侧面展开，根据两点之间线段最短可知AC的长度即为所求． 【详解】解：如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，（cm）， 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm，故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 例4．（2022·河南·开封市八年级期中）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________． 【答案】30π厘米 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示： 用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π； 又∵圆柱高为18π，∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π； 根据勾股定理求得AC=CD=DB= =10π；∴AC+CD+DB=30π．故答案为：30π厘米． 【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 题型2.长方体有关的最短路径问题想 【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。 要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（       ） A．10 B． C．14