第六章 计数原理（知识详解）-2022-2023学年高二数学考点知识详解+模拟测试（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章计数原理知识详解 知识网络 1、 两个计数原理 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有类办法， 在第1类办法中有种不同的办法； 在第2类办法中有种不同的方法； ..... 在第类办法中有种不同的方法 那么，完成这件事共有中不同的方法. 例1．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲､乙､丙､丁 甲､乙､丙 丙､丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ） A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 举一反三 1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A．24 B．16 C．13 D．48 2．张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ） A．7种 B．12种 C．14种 D．24种 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤， 做第1步有种不同的方法； 做第2步有种不同的方法； ..... 做第步有种不同的方法 那么，完成这件事共有种不同的方法. 例2．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ） A．14条 B．12条 C．9条 D．7条 举一反三 1．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A．60 B．125 C．240 D．243 2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 3.（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ） A． B． C． D． 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1.排列 （1）排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 （2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示. （3）排列数公式： 其中，并且 特殊的，当时，即有 称为的阶乘，通常用 表示，即 例3：1．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________ 举一反三 1．5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ） A．144 B．72 C．36 D．12 2．等于（ ） A． B． C．n!-4! D． 3．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ） A．24 B．12 C．10 D．6 4．甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三，则不同的排法有（ ） A．10种 B．11种 C．14种 D．16种 5．某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ） A．12 B．36 C．24 D．48 6．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（       ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 2. 组合： （1）组合定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 （2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号 表示。 （3）组合数公式： 其中，并且， 规定 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质： 例4．1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志