6.2.4向量的数量积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？ 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？ 复习回顾 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 　　 （１）力F所做的功W= 。 （２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。 F S 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 一，平面向量的数量积： 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 其中θ是 与 的夹角， 规定:零向量与任一向量的数量积为零，即 。 注：①a·b是一个数量，而不是一个向量； ②符号“·”不能写成“×”也不能省略不写。 思考1　 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 　 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量. 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 　 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 数量积符号由cos的符号所决定 思考2　 三，数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的 投影 的乘积。 θ B B1 O A 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上） 的投影. 二，投影 注意：投影也是一个数量，不是向量 练一练： 例1.已知 的夹角θ=120º，求 。 例2.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30° 由向量数量积的定义，试完成下面问题： 注：常记 为 。 0 ≤ 证明向量 垂直的依据 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则一定b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 练一练： 11 课堂小结 1，平面向量数量积的定义，投影； 2，平面向量数量积的几何意义及性质； 3，求解数量积。 思考并预习平面向量数量积的运算律。 THANK YOU 每天努力，总有一天，会变成你想要的样子！ ＝4×5×＝10. $