小卷12 二次函数压轴题抢分专练-【智乐星中考·中考备战】2023年山东济宁中考数学

小卷12　二次函数压轴题抢分专练 姓名：________　　班级：________ 1．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以点B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标； (3)如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　　　 图1　　　　　　　图2 2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1∶2的两部分，求点E的坐标； (3)点P为抛物线上的一动点，点Q为对称轴上的一动点，抛物线上是否存在一点P，使以点A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于点B(－1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的解析式； (2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标； (3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tan∠CQN＝2，线段BQ是否存在最小值？如果存在请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上的动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点F，G，使△FCG是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 参考答案 1．解：(1)∵B(2，t)在直线y＝x上，∴t＝2，∴B(2，2)． 把A，B两点坐标分别代入抛物线解析式可得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2－3x. 图1 (2)如图1，过点C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过点B作BF⊥CD于点F. ∵点C是抛物线上第四象限内的点， ∴可设C(m，2m2－3m)，则E(m，0)， D(m，m)， ∴OE＝m，BF＝2－m， CD＝m－(2m2－3m)＝－2m2＋4m， ∴S△OBC＝S△CDO＋S△CDB＝CD·OE＋CD·BF＝ (－2m2＋4m)(m＋2－m)＝－2m2＋4m. ∵△OBC的面积为2， ∴－2m2＋4m＝2，解得m1＝m2＝1， ∴C(1，－1)． 图2 (3)存在． 如图2，设MB交y轴于点N. ∵B(2，2)， ∴∠AOB＝∠NOB＝45°. 在△AOB和△NOB中， ∴△AOB≌△NOB(ASA)， ∴ON＝OA＝，∴N(0，)， ∴直线BN的解析式为y＝x＋. 由解得或 ∴M(－，)． ∵C(1，－1)，∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B(2，2)， ∴OB＝2，OC＝. ∵△MOB∽△POC， ∴＝＝2，∠MOB＝∠POC. ①当点P在第一象限时，如图3，过点M作MG⊥y轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，连接OP. 图3 ∵∠COA＝∠BOG＝45°， ∴∠MOG＝∠POH， 且∠PHO＝∠MGO， ∴△MOG∽△POH， ∴＝＝＝2. ∵M(－，)， ∴MG＝，OG＝， ∴PH＝MG＝，OH＝OG＝，∴P(，)． ②当点P在第三象限时，如图4，过点M作MG⊥y轴于点G，过点P作PH⊥y轴于点H. 图4 同理可求得PH＝MG＝， OH＝OG＝， ∴P(－，－)． 综上可知，存在满足条件的点P， 其坐标为(，)或(－，－)． 2．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点 A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)经过点C(0，6)， ∴6＝a(0－1)(0－3)，∴a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6. (2)∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2， ∴顶点M的坐标为(2，－2)． ∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点N(2，2)． 设直线AN的解析式为y＝kx＋d(k≠0)， 则解得 ∴直线AN的解析式为y＝2x－2. 联立解得或 ∴点D(4，6)，∴S△ABD＝×2×