立体几何高考真题专题复习练习-2023届高三数学二轮专题复习

立体几何高考真题复习 【例1】．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点． （1）求证：EF∥平面ABC； （2）求直线BE与平面CC1D的正弦值； （3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值． 【例2】．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点． （Ⅰ）证明：FN⊥AD； （Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 【例3】．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝． （1）证明：BD⊥PA； （2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 【例4】．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【例5】．如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． （1）证明：OE∥平面PAC； （2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值． 【例6】．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为． （1）求A到平面A1BC的距离； （2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值． 【例7】．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． （1）证明：平面BED⊥平面ACD； （2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 【例8】．如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 【例9】．在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． （Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值． 【例10】．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E为A1D1的中点，B1C1交平面CDE交于点F． （Ⅰ）求证：F为B1C1的中点； （Ⅱ）若点M是棱A1B1上一点，且二面角M﹣FC﹣E的余弦值为，求的值． 【例11】．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM． （1）求BC； （2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值． 【例12】．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD． （Ⅰ）证明：AB⊥PM； （Ⅱ）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 【例13】．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1． （1）证明：BF⊥DE； （2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 【例14】．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． （1）证明：OA⊥CD； （2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积． 【例15】．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AN上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1∥MN，且B1C1⊥平面A1AMN； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 【例16】．在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F﹣DE﹣C的大小为θ，求sinθ的值