第11讲 后三模块-二次函数综合题解法-【中考特训营】2023年中考数学复习讲与练（安徽专用）

第11讲 后三模块-二次函数综合题解法 题型一 直角三角形的存在性问题 ①运用勾股定理：a²+b²=c² ②运用剥离法（参照圆证明玻璃法的运用） 例．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线． (1)点A的坐标为　 　； (2)若射线平分，求二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？ 【详解】（1）解：把代入，得，∴，∴， 当时，，∵，∴，解得．∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴对称轴为直线．设对称轴与交于点G， ∵，∴，当时，，∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，∴，当时，，∴．∵平分，∴，∵，∴，  ∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴； （3）∵轴，∴，，∵，∴， ①当时，， ∵对称轴为直线，∴此时； ②当时，设直线交x轴于点， 当时，， ∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴H与A重合，∴此时； 综上，当或时，为直角三角形． 1．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． (1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 2．（2021·四川眉山·统考三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 线段长度最值 设横坐标为x，线段长L=y上-y下，配方得最小值. 例．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴经过点，作直线．是该抛物线上一点，过点作轴的垂线交于点，过点作于点，以、为边作矩形． (1) ___________； (2)当点P在抛物线A，B两点之间时，求线段长度的最大值； (3)矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当时，求点P的坐标． 【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可； （2）由抛物线解析式可得顶点的坐标为；设直线的解析式为：，代入点及点的坐标可求得，直线的解析式为：．设，则，所以，所以当时，的最大值为． （3）结合点的位置及图形可知，需要分两种情况：当点在直线l左侧时，此时，从左到右上升，图象最高点为，最低点为，当点在直线l左侧时，此时，从左到右下降，图象最高点为，最低点为，结合，可分别求的的值进而求得点的坐标． 【详解】（1）抛物线与轴交于点， ，解得； 故答案为：． （2）抛物线， 顶点的坐标为， 设直线的解析式为：，过点， 则，解得． 直线的解析式为：． 设， 轴交直线于点， ， 点在、之间， 当时，， ， 当时，的最大值为． （3）如图，当点在直线l左侧时，此时，从左到右上升，图象最高点为，最低点为， ，， ， ， 解得，或（舍，此时点的坐标为； 当点在直线l左侧时，此时，从左到右下降，图象最高点为，最低点为， 垂直轴， 点与点的坐标相同． ，， ， ， 解得，或（舍，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为；． 1．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 2．（2022·辽宁营口·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（A点位于B点左侧），与y轴相交于点C，直线y＝ x＋m经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，连接AP． ①线段PD是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由； ②当∠DPA＝∠ACO时，求直线AP的表达式． 题型三 平行四边形的存在性问题 利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值 例．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次