5.3 第3课时 方案问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年七年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦方案问题与一元一次方程，通过空调售价与耗电量对比的生活实例导入，引导学生从直观判断过渡到理性分析，建立方程模型并分类讨论使用年数，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 特色是以生活实例为载体，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（分类讨论推理）和数学语言（方程模型表达），如空调问题中通过方程解得t=5并分析不同区间费用，提升学生应用意识，为教师提供结构化教学流程与实例。

5.3 实际问题与一元一次方程 第5课时 课题 方案问题 课型 新授课 教学内容 教材第138-139页的内容 教学目标 1.体验建立方程模型解决问题的一般过程． 2.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力. 教学重难点 教学重点：建立方程模型，解决实际问题. 教学难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题1】下面表格给出的是两款空调的部分基本信息： 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/ (kW•h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 你了解表格中这些数字的含义吗？ 【师生活动】教师提问，学生思考、回答．让学生通过简单计算回答相应的费用． 【问题2】你觉得选择哪种能效的空调更省钱呢？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导：若学生回答3级能效空调更省钱，可发动其他学生通过举例等方式加以质疑； 若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究． 讨论后安排学生再次思考，可适当讨论． 2.类比探究，学习新知 【问题3】通过大家的讨论，你对空调综合费用问题有什么新的认识？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考回答，根据学生的回答，教师适当加以归纳引导：引导学生思考“你可以确定在什么使用年数上，两款空调的综合费用相等？”，从而引导学生进行分类，引导学生更合理地解决问题． 设空调的使用年数是t,设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3 000+0.5×640t， 即3 000+320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600+0.5×800t， 即2 600+400t. 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等， 列方程3 000+320t=2 600+400t，解得t=5. 【问题4】为了比较两款空调的综合费用，我们把3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另一个式子的和，即 （3 000+320t）+(80t-400),也就是3 000+320t+80（t-5）. 这样，当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 【师生活动】由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算. 3.学以致用，应用新知 【例1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表(注：水费按一个月结算一次)：请根据价目表的内容解答下列问题： 价目表 每月用水量(m3) 单价(元/m3) 不超出26 m3的部分 3 超出26 m3不超出34 m3的部分 4 超出34 m3的部分 7 (1)填空：若该户居民1月份用水20 m3，则应收水费60元；若该户2月份用水30 m3，则应收水费94元； (2)若该户居民3月份用水a m3(其中a＞34)，则应收水费多少元？(结果用含a的代数式表示) (3)若该户居民4月份的平均水价为3.8元/m3，求该户4月份用水量是多少立方米？ 解：(2)应收水费为3×26＋4×(34－26)＋7(a－34)＝(7a－128)元． (3)设该户4月份用水量是x m3. 当26＜x≤34时， 3×26＋4(x－26)＝3.8x，解得x＝130(不合题意，舍去)． 当x＞34时，7x－128＝3.8x，解得x＝40. 答：该户4月份用水量是40 m3. 【例2】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒(不少于6盒)． (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买20盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买，为什么？ (3)当购买40盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买，为什么？ 解：(1)设购买x盒乒乓球时，两家优惠办法付款一样． 由题意，得40×6＋10(x－6)＝(40×6＋10x)×90%. 解得x＝36. 答：购买36盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样． (2)当购买20盒乒乓球时， 甲店需付款：40×6＋10×(20－6)＝380(元)； 乙店需付款：(40×6＋10×20)×0.9＝396(元)． 因为380＜396，所以去甲店购买合算． (3)当购买40盒乒乓球时， 甲店需付款：40×6＋10×(40－6)＝580(元)， 乙店需付款：(40×6＋10×40)×0.9＝576(元)． 因为580＞576，所以去乙店购买合算． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按照每立方米1.2元收费，已知12月份某用户的煤气费为平均每立方米0.96元，那么12月份该用户用煤气多少立方米？ 解：设12月份该用户用煤气x立方米． 由题意，得0.8×60＋1.2×(x－60)＝0.96x. 解得x＝100. 答：12月份该用户用煤气100立方米． （2）为庆祝商场正式营业，商场推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠． ①以x(元)表示商品价格，分别用含有x的式子表示出两种购物方案中支出金额； ②若某人计划在商场购买价格为5 880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ ③哪种情况下，两种方案下支出金额相同？ 解：①方案一：0.95x；方案二：300＋0.9x. ②当x＝5 880时， 方案一：0.95×5 880＝5 586(元)， 方案二：300＋0.9×5 880＝5 592(元)． 因为5 586＜5 592， 所以方案一更省钱． ③由题意，得0.95x＝300＋0.9x，解得x＝6 000. 所以当购买价格为6 000元的商品时，两种方案下支出金额相同． 5.课堂小结，自我完善 请学生回顾空调综合费用问题的探究过程，回答以下问题： (1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？ (2）空调综合费用问题的核心问题是什么？ (3）在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？ 6.布置作业 课本P139练习，P141习题5.3第14题. 通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工. 学生对空调综合费用问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分的发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识.在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，为对问题的进一步探究进行准备． 学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”. 这一问是本节课的关键，学生通过分类讨论得到"方程模型"，并利用方程求出关键数据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力. 进一步巩固所学新知，增强学生对模型的应用意识和应用能力. 在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路. 板书设计 方案问题 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $