第14讲 后三模块-几何压轴-相似综合解题指导-【中考特训营】2023年中考数学复习讲与练（安徽专用）

第十四讲 后三模块-几何压轴-相似综合解题指导 技巧 ： 1、相似三角形的四类结构图： (1)平行线型． (2)相交线型． (3)子母型． (4)旋转型． 1、 相似问题中等式证明的方法总结 1、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三 角形相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 2、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 3、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 例1、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点． (1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F. ①求证：BE＝CF； ②求证：BE2＝BC·CE. (2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值． 图1 图2 解析： (1)①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF； ②证明：∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM， ∴∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴＝，即CG2＝BC·CE， ∵∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG.由①知，BE＝CF， ∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE. (2)解：延长AE，DC交于点N(如解图①)，∵正方形ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠N＝∠EAB，又∵∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA.∴＝，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE，∵AB∥DN，∴＝＝.又∵AM＝MB，∴FC＝CN＝BE，不妨假设正方形边长为1. 设BE＝x，则由BE2＝BC·CE，得x2＝1·(1－x)．解得x1＝，x2＝(舍去)，∴＝. ∴tan∠CBF＝＝＝. 1．（2021·安徽·统考中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 2．（2020·安徽·统考中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 3．（2019·安徽·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 4．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图1，在矩形ABCD中，连接BD，点F是线段BD上一点，过点F作，过点D作DE⊥BD交EF于点E． (1)求证：； (2)如图2，分别连接AF，EC，并延长交于点G，FG与BC交于点I，连接BG，当DE＝DC时， ①求证：BG＝FG； ②连接DG，交EF于点P，若AB＝8，AD＝6，求FP的长． 5．（2017·安徽·中考真题）已知正方形，点为边的中点. （1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，. ①求证：； ②求证：. （2） 如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四讲 后三模块-几何压轴-相似综合解题指导 技巧 ： 1、相似三角形的四类结构图： (1)平行线型． (