解三角形的综合　讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 解 三 角 形 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 1 掌握正弦定理和余弦定理的基本内容； 2 能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形； 3 运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 一、知识框架 2、 知识概念 （一）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：① ②角化边 ③边化角 （二） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角． （三） 三角形中的公式变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 ( 典例分析 ) 考点一：利用正余弦定理解三角形 例1、在ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 例2、在ABC中，已知，，，求b及A。 例3、在中，，，，求的值和的面积。 考点二：求值问题 例1、在ABC中，若_________。 例2、在ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．8 C．4或8 D．无解 例3、在ABC中，若，则A等于（ ） A． B． C． D． 例4、在ABC中，若_________。 例5、 在ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________． 考点三：与三角形边角相关的问题 例1、ABC中，则△ABC的周长为（ ） A． B． C． D． 例2、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 例3、在，求： （1）求BC的长； （2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 例4、已知A、B、C是三内角，向量，且， （Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若 考点四：边角互化问题 例1、在ABC中，如果，那么等于 。 例2、在ABC中，若，则与的大小关系为（ ）. A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定 例3、在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2asinB=b,则角A等于（　　） A． B． C． D． 例4、【2011·全国卷Ⅱ】ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 考点五：解三角形的实际应用 例1、如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高。 例2、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知