6.3.2二项式系数的性质课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 二项式系数 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 二项式系数: 一、新知探究 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式，并说说你发现了什么规律？ 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … (a + b)n 每一行的系数具有对称性 一、新知探究 1.二项式系数性质之对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． f (r) r n O 5 15 20 1 10 对于 的展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以k为自变量的函数 , 其定义域是： 例如：当 n=6 时, 其图象是7个孤立点 f (k) k 6 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 1.二项式系数性质之对称性 f (k) k 6 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 图象的对称轴： 1.二项式系数性质之对称性 当 时，二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分(即当 )是逐渐减小的, 且中间项取得最大值 f (r) r n O 5 15 20 1 10 2.二项式系数性质之增减性与最值 （1）当n为偶数时， 正中间一项的二项式系数 最大； f (k) k 6 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 例如：当 n=6 时, 其图象是7个孤立点 2.二项式系数性质之增减性与最值 （2）当n为奇数时， 中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. （1）当n为偶数时， 正中间一项的二项式系数 最大； f (r) r n O 5 15 20 1 10 2.二项式系数性质之增减性与最值 在二项式定理中,令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成： 这是组合总数公式. （赋值法） 3.二项式系数性质之各项系数和 一般地， 的展开式的二项式系数有如下性质： (1) (2) (3)当 时, 当 时, (4) 小结：二项式系数性质 二.典例分析 1.已知 , 那么 = ； 3.在(a＋b)20展开式中, 与第五项的系数相同的项是( ) A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项 C 2.若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数 最大， 则 n = ； 变式练习 4.在(a＋b)10展开式中, 系数最大的项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 A 二.典例分析 在 的展开式中： (1)求二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项的系数和与偶数项的系数和. 解： (1) (2)令x=1,y=1, 得 (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和为512. (4)奇数项的系数和为 ; 偶数项的系数和为 . 变式练习 例3 1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( ) A.10 B.－10 C.2 D.－2 C 解: (1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的， 即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项， 二.典例分析 1.(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( ) A