7.4二项式定理-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第七章 计数原理 7.4二项式定理 目标导航 课程标准 重难点 1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2、理解二项式系数的性质. 3.会运用二项式系数的性质解决应用问题. 重点：二项式系数的性质的理解； 难点：用二项式系数的性质解决应用问题. 知识精讲 知识点01 二项式定理 ， 1.这个公式叫做二项式定理（binomial theorem）， 2.等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项， 3.二项式系数（binomial coefficient）：各项的系数叫做二项式系数. 4.二项展开式的通项：二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：. 5.通项的应用：利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项（或系数），如常数项、有理项等. 【注意】二项式定理是一个恒等式，这里的a,b既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.如果设a=1，b=x，则得到公式： 【注意】二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点： 1.它有n＋1项； 2.各项的次数(即a与b的指数的和)都等于二项式的次数n； 3.字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 【即学即练1】（2022·吉林通化·高二期中）二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【即学即练2】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 杨辉三角 杨辉三角：当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式： (a＋b)1………………………………1 1 (a＋b)2……………………………1 2 1 (a＋b)3…………………………1 3 3 1 (a＋b)4………………………1 4 6 4 1 (a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1 (a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1 … …上表称为“杨辉三角”. 从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点： 1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 相等 ； 2.在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 【即学即练3】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值. 【即学即练4】如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________． 知识点03 二项式系数的性质 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 得到. 2.增减性与最大值： ①当时，二项式系数是逐渐增大的； ②当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值. ③当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ④当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大. 3.各二项式系数的和：已知. 令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为 . 4.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即. 【即学即练5】（2022·浙江·高三开学考试）的展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答） 【即学即练6】（2022·全国·高三专题练习）的展开式中各项的二项式系数之和为________． 能力拓展 ◆考点01 指定项系数 【典例1】（2020·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． 【典例2】（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））在的展开式中，含x3项的系数为________ ◆考点02 常数项 【典例4】（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，常数项为（    ） A．-60 B．60 C．-240 D．240 【典例5】（2022·山东临沂·高二期末）二项式展开式中的常数项为（    ） A． B． C．40 D．80 ◆考点03 含有三项的二项展开式 【典例6】（2022·安徽·高二期中）的展开式中含项的系数为（    ） A．－120 B．120 C．－60 D．60 【典例7】（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．-120 B．-40 C．-30 D．20