7.3组合-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第七章 计数原理 7.3组合 目标导航 课程标准 重难点 1.理解组合数的概念. 2.能利用组合数公式解决简单的实际问题. 重点：组合数概念的理解； 难点：用组合数公式解决简单的实际问题. 知识精讲 知识点01 组合的概念 定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】组合概念的两个要点： （1）取出的对象是不同的； （2）“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质. 【即学即练1】（2022·全国·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【即学即练2】（2021·全国·高二课时练习）以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 阶乘式 性质 C＝C，C＝C＋C 备注 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1 注意：排列与组合的相同点与不同点 名称 排列 组合 相同点 二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素，元素无重复 不同点 1.排列与元素的顺序有关 2.两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同. 1.组合与元素的顺序无关 2.两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同. 联系 = 【即学即练3】（2022·浙江·高二阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2022·河北张家口·高二期末）（    ） A．2 B．22 C．12 D．10 能力拓展 ◆考点01 组合数公式的选取 【典例1】（2022·江苏连云港·高二期中）求值：_______． 【典例2】（2022·河北保定·高二阶段练习）（    ） A．15 B．30 C．35 D．42 【典例3】（2022·江苏泰州·高二期末）________． ◆考点02 组合数的性质1：C＝C 【典例4】计算：C＝________，C·C＝__________. 【典例5】（2022·山东济南·高二期末）若，则实数x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 ◆考点03 组合数的性质2 ：C＋C＝C 【典例6】（2022·陕西西安·高二期末（理））（    ） A． B． C． D． 【典例7】已知m≥4，C－C＋C等于(　　) A．1 B．mC．m＋1 D．0 ◆考点04 组合数有关的方程 【典例8】（2022·全国·高三专题练习）若，则x的值为_______ 【典例9】（2022·全国·高三专题练习）方程的根为______． ◆考点05 组合数有关的不等式 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）若，则的取值集合是______． 【典例11】（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________. ◆考点06 与组合数有关的证明 【典例12】求证：①，②． 【典例13】证明下列各等式． (1)C＝C； (2)C＋C＋C…＋C＝C. ◆考点07 简单的组合问题 【典例14】（2022·北京平谷·高二期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（    ） A．20 B．8 C．9 D．120 【典例15】（2022·河北·高二期中）从8瓶酸牛奶和4瓶纯牛奶中任意选取4瓶，则恰有1瓶是酸牛奶的选取方法共有（    ） A．24种 B．32种 C．48种 D．64种 ◆考点08 有条件限制的组合问题 【典例16】（2022·湖南省祁东县育贤中学高三阶段练习）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的