专题03 实数的四种特殊考法全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题03 实数的四种特殊考法 类型一、比较大小与实数估算 例1．比较大小：__________． 例2.比较下列实数的大小___________． 【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______． 【变式训练2】比较大小______ ． 【变式训练3】比较大小：_____；_____（填“＞”或“＜”或“＝”） 【变式训练3】比较与的大小． 类型二、整数部分问题 例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值． 【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数． 【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是__________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根． (3)若，则________，________． 【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1)[]＝ ，的小数部分为 ； (2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 类型三、新定义问题 例．定义：若无理数（为正整数）：（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为． 解答下列问题： (1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________． (2)若无理数（为正整数）的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值． 【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，的“最佳邻居数”记作，令；若是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此类推．例如：50的“邻居数”为44与55，，，∵，55为50的“最佳邻居数”，∴， 再如：492的“邻居数”为444和555，，， ∵，∴444是492的“最佳邻居数”，∴． (1)求和的值； (2)若为一个两位数，十位数字为，个位数字为，且．求的值． 【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为．例如：，满足，且，所以134是“望岳数”，；例如：，满足，但是，所以237不是“望岳数”；再如：，满足，但是，所以415不是“望岳数”． (1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由； (2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及的最大值． 【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图． 由图中面积计算， 另一方面由题意知 所以 略去，得方程． 解得．即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示） 类型四、规律性问题 例．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，， (1)仿照以上方法计算：_____；=_____； (2)计算：； (3)如果我们对a连续求