专题01 二次根式化简的四种题型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题01 二次根式化简的四种题型全攻略 类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式 例．等式成立的条件是（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练1】已知，为实数，且，则________． 【变式训练2】已知a，b，c是的三边长，且满足关系的形状是_______． 【变式训练3】若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长． 类型二、利用数轴化简二次根式 例．实数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简＝_____ 【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知实数、、表示在数轴上如图所示，化简． 【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 类型三、利用字母的取值范围化简二次根式 例1．已知，化简：，__________． 例2.的三边长分别为1、k、3，则化简_____． 【变式训练1】已知，化简二次根式的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】若，则_______； 【变式训练3】化简：_______． 【变式训练4】已知 . (1)求a的值； (2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度. 类型四、双重二次根式的化简 例.阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简； （2）化简； 【变式训练1】阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 设， 易知 故，由 解得，即． 根据以上方法，化简 【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 课后作业 1．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．8或10 D．9 2．化简二次根式的正确结果是（  ） A． B． C． D． 3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的平方根是______． 5．设，是整数，方程有一个实数根是，则___________． 6．已知、为实数，，则的值等于______． 7．已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简 8．阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜