专题02 三角形中的三种几何最值模型-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题02 三角形中的三种几何最值模型 类型一、将军饮马模型 ①一动两定 ②两动一定 例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________． 【答案】 【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四边形OMNH是平行四边形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O点关于BC的对称点是点K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵， ∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长． ∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K， ∴．   ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8． ∵OH= 2，， ∴， ∴OM+ON的最小值是． 例2.如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________. 【答案】 【详解】解：设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S， ∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1， ∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形， ∴AD=OB，OA=BC， ∴AD+OA=OB+BC， ∵AE=AD， ∴AE+OA=OB+BC， 即OE=OB+BC， ∴OB+CB的最小值为OE， 由可知∠AFO=30°，F（-4，0）， ∴FD=3，∠FDG=60°， ∴DG=DF=，∴DE=2DG=3， ∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=， ∴OB+CB的最小值为. 例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】(1)见解析(2)4(3)4 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ， ∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC， ∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【变式训练1】如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点． ． 由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时． 四边形为菱形，周长为， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练2】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______． 【答案】 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【变式训练3】如图，直线与轴，轴分别交于和